2 situaciones ligeramente diferentes en las que se tiran 2 monedas. ¿El conocimiento de un observador afecta las probabilidades de los resultados?

Question

Situación A: Una sola vez, lanzo 2 monedas justas idénticas y no miro los resultados. Un observador veraz mira una de las monedas y me dice que al menos una de ellas es una cabeza.

Situación B: Una sola vez, lanzo 2 monedas justas idénticas y no miro los resultados. Un observador veraz mira ambas monedas y me dice que al menos una de ellas es una cabeza.

En A, ¿cuál es la probabilidad de que haya 2 cabezas?

En B, ¿cuál es la probabilidad de que haya 2 cabezas?

¿No son ambas probabilidades 1/2?

EDITAR

Permítame afinar la pregunta. El acuerdo que tengo con el observador es el siguiente: 1) Lanzaré dos monedas idénticas.
2) En la situación A un tercero cubrirá las monedas con una tela. El observador sólo mirará el resultado de la moneda que se acerque a él y me informará de ello. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo resultado sea el mismo que el primero?
3) En la situación B, el observador observará ambos resultados e informará sólo del estado (cara o cruz) de la moneda que se acercó a él. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo resultado sea el mismo que el primero?

2ª EDICIÓN

Cambiando 3) arriba a: 3) En la situación B, el observador observará ambos resultados, elegirá uno de ellos e informará con veracidad: "Hay al menos una cara", o "Hay al menos una cola", según sea el caso. ¿Qué probabilidad hay de que el segundo resultado (el de la otra moneda) sea igual al primero?

Answer 1

Estoy publicando esto como una respuesta separada para dejar de molestar a Willie con incesantes notificaciones de comentarios. Por supuesto, las otras respuestas que se han publicado son completamente correctas, y sólo estoy tratando de ayudarte a reconciliar tu razonamiento intuitivo con sus resultados.

En la situación A, la información que se obtiene sobre el estado de las monedas es: "La primera moneda es la cabeza".

En la situación B, la información que se obtiene es: "Al menos una de las monedas son cabezas".

No son equivalentes; la primera no está implícita en la segunda, porque en B no se puede concluir que la primera moneda sea la cabeza. En otras palabras, la declaración del observador junto con su conocimiento de la estrategia del observador le permite llegar a una conclusión más fuerte sobre las monedas en la situación A.

Si lo desea, puedo aclarar (a) cómo la estrategia del observador afecta a las cosas, como también ha mencionado TonyK, y/o (b) por qué en la situación B la probabilidad es de 1/3 y no 1/2 como usted espera.

Answer 2

No. Hay cuatro posibilidades con dos monedas. Por el momento, identifique una moneda como X y otra como Y. Tiene o bien

X = 1, Y = 1

X = 0, Y = 1

X = 1, Y = 0

X = 0, Y = 0

(donde 1 es cara y 0 es cola). Un observador veraz que sólo mira la moneda X e ignora la moneda Y dirá: "hay al menos una cabeza" en los casos 1 y 3. Un observador veraz que sólo mira la moneda Y e ignora la moneda X dirá: "hay al menos una cabeza" en los casos 1 y 2. En cualquiera de esas situaciones, sólo uno de los dos casos tiene la otra moneda como cabeza. Así que la probabilidad de dos cabezas es de 1/2.

Por otro lado, un observador veraz que mira ambas monedas dirá: "hay al menos una cabeza" en los casos 1, 2 y 3. De esos casos, sólo un estuche tiene dos cabezas. Así que la probabilidad de eso es de 1/3.

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Al elegir sólo una de las monedas para mirar, estás mirando la probabilidad

$$ \mathbb {P}\{ X = 1 | \mbox { Observer chooses }Y \mbox { and }Y = 1\} $$

además de lo mismo con $X$ y $Y$ intercambiado. Desde $X$ y $Y$ son independientes, es igual a

$$ \mathbb {P}\{X = 1\} \cdot \mathbb {P}\{ \mbox { Observer chooses } Y\} + \mathbb {P}\{Y = 1\} \cdot \mathbb {P}\{ \mbox { Observer chooses } X\} = 1/2$$

En el caso de que el observador vea ambas monedas, está viendo la probabilidad condicional

$$ \mathbb {P}\{ Y + X = 2 | Y + X \geq 1 \} $$

que la suma de las variables $Y$ y $X$ es 2 cuando sabemos que su suma es al menos 1. ¡Claramente el condicionamiento no es independiente de lo que estás probando! Puedes establecer que lo anterior es 1/3 contando el número total de formas $A+B$ puede ser al menos 1 como se hizo anteriormente.

Answer 3

A es fácil.
En B, si se sabe de antemano que el observador sólo le va a hacer saber si el número de cabezas es cero o no cero, entonces la probabilidad es de 1/3.
Si no se sabe de antemano lo que el observador va a revelar, entonces el cálculo de probabilidad implica la estrategia del observador (qué información pretende revelar el observador según el número de cabezas). Así que no se puede calcular la probabilidad. Esto está en el corazón de la El problema de Monty Hall .