Valor mínimo

Question

Cómo encontrar el valor mínimo de $|z+1|+|z-1|+|z-i|$.

Lo he intentado geométricamente etcetera pero no pudo.

Answer 1

esto se llama Fermat(?) problema. los mínimos se producen en un punto en el que cada vértice hacer $120^\circ.$ esto es cierto para cualquier de los tres vértices de un triángulo. aquí tenemos más agradable triángulo isósceles de lados $\sqrt 2, \sqrt 2$ $2.$ el punto de Fermat es en $\sqrt 3/3.$ la suma de los segmentos es $$2\sqrt 3 /3 + 2\sqrt 3 /3 + 1 - \sqrt 3/3 = 1 + \sqrt 3$$

aquí hay una guía rápida de la prueba de por qué Ese punto es donde el mínimo se produce. Tres no puntos colineales $A, B, C$ $$min_{P}\left(|AP| + |BP| + |CP|\right) = |AF|+|BF|+|CF| \mbox{ where } F \mbox{ is such that} \angle AFB = \angle BFC = 120^\circ $ $

la prueba utiliza la Ptolomeo del teorema que dice que en cualquier cuadrilátero, la suma de los productos de los lados opuestos es mayor o igual al producto de las diagonales. la igualdad ocurre si, y sólo si el cuadrilátero es cíclico.

Prueba: Construir exterior triángulos equiláteros $ABC^\prime, BCA^\prime$ $CAB^\prime.$ Dejar que el circumcircles de los triángulos equiláteros se reúnen en el punto de Fermat $F.$ Deje $G$ ser cualquier punto de $F.$ la Aplicación del teorema de Ptolomeo al cuadrilátero cíclico $AFBC^\prime$ y el cuadrilátero $AGBC^\prime$ obtenemos $$AF + BF = C^\prime F \mbox{ and } AG + BG \ge C^\prime F$$

la adición de dos ecuaciones similares, demuestra que el reclamo.

Answer 2

Dado que era una especie de prueba, se puede adivinar:

1. Es en el eje imaginario (porque el triángulo formado por $1,-1,i$ es isósceles y ver la singularidad de media geométrica en la Wikipedia).
2. El punto se encuentra dentro del triángulo isósceles.

Que $f(y)=2\sqrt{1+y^2}+1-y$.

$f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{1+y^2}}-1=0\implies4y^2=1+y^2\implies y=\frac{1}{\sqrt3}$.

Answer 3

El post ha recibido muy buenas y respuestas simples a base de triángulos.

Sin embargo, si usted realmente desea ver el cálculo basado en problema, permítanme comenzar a usar el Dr. Sonnhard Graubner la aproximación a la solución. Escrito $$f(a,b)=\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(b-1)^2}$$ Computing the partial derivatives lead to the equations $$\frac{df(a,b)}{da}=\frac{a}{\sqrt{a^2+(b-1)^2}}+\frac{a-1}{\sqrt{(a-1)^2+b^2}}+\frac{a+1}{\sqrt{(a+1)^2+ b^2}}=0$$ $$\frac{df(a,b)}{db}=\frac{b-1}{\sqrt{a^2+(b-1)^2}}+\frac{b}{\sqrt{(a-1)^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{(a+1)^2+b^ 2}}=0$$ which are extremely complex to solve except if you know (or are able to identify) that one solution corresponds to $un=0$. In such a case, the first partial is effectively equal to $0$ and the second one becomes $$\frac{df(0,b)}{db}=\frac{2 b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{b-1}{\sqrt{(b-1)^2}}=\frac{2 b}{\sqrt{b^2+1}}\pm 1=0$$ for which the solutions are $\mp \frac{1}{\sqrt{3}}$. To these solutions correspond $$f(0,-\frac{1}{\sqrt{3}})=1+\frac{5}{\sqrt{3}}$$ $$f(0,\frac{1}{\sqrt{3}})=1+\sqrt{3}$$ and then the result ($a=0,b=\frac{1}{\sqrt{3}},f=1+\sqrt{3}$).

Usted puede notar que, para $b=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, $$\frac{d^2f(0,b)}{db^2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4} \gt 0$$

Por favor, observe que el problema con $|z+\alpha|+|z+\beta|+|z-i|$ va a ser muy difícil de resolver tan pronto como $\alpha+\beta \neq 0$.

Answer 4

que $z=a+bi$ entonces tenemos $$f(a,b)=\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(b-1)^2}$ $ con la ayuda del cálculo obtenemos $$f(a,b)\geq 1+\sqrt{3}$$ the equal sign holds if $a=0$ and $b=\frac{\sqrt{3}}{3}$