Un valor absoluto $|\cdot|$ de campo $F$ es una función $F \to \Bbb R$ tal que
- $|x|0$ para cualquier $xV$ y $|x|=0$ sii $x=0$
- $|xy|=|x||y|$
- $|x+y||x|+|y|$ para cualquier $x,yF$
Un valor absoluto puede ser visto como una norma en $F$. El valor absoluto de $\Bbb R$ y el módulo de $\Bbb C$ no son diferenciables en 0. Me pregunto si todos los valores absolutos definidos en subcampos de $\Bbb C$ no son diferenciables en cero.
La respuesta a la pregunta del título es sí. Más generalmente --
Me pregunto si todos los valores absolutos definidos en subcampos de $\mathbb{C}$ no son diferenciables en cero.
Sí, este es el caso. Cualquier subcampo de $\mathbb{C}$ contiene $\mathbb{Q}$. Mostramos que siempre que $| \cdot |$ esté definido en $\mathbb{Q}$, no es diferenciable en $0$ en el siguiente sentido: $$ \lim_{\substack{h \to 0 \\ h \in \mathbb{Q}}} \frac{|h| - |0|}{h - 0} = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h \in \mathbb{Q}}} \frac{|h|}{h} \tag{*} $$ no existe como número complejo. (Es decir, el límite anterior no existe con respecto a la topología habitual en los números complejos).
Primero, nota que la propiedad (2) implica $|1|^2 = |1|$, por lo que $|1| \in \{0,1\}$, y por la propiedad (1) $|1| = 1$. Luego, por la propiedad (2) $|-1|^2 = |1| = 1$ por lo que $|-1| = 1$. Por la propiedad (2) concluimos que $|-x| = |x|$ para todo $x$.
Considera dos secuencias que convergen a $0$: $a_n = \frac{1}{2^n}$, y $b_n = \frac{-1}{2^n}$. Por un lado, $$ \frac{|a_n|}{a_n} = \frac{|1/2|^n}{(1/2)^n} = 2^n \left|\frac12\right|^n = \left( \left|\frac12\right| + \left|\frac12\right| \right)^n \ge (|1|)^n = 1, $$ por la propiedad (3). Por otro lado, $$ \frac{|b_n|}{b_n} = \frac{|1/2|^n}{-(1/2)^n} = -2^n \left|\frac12\right|^n = -\left( \left|\frac12\right| + \left|\frac12\right| \right)^n \le -(|1|)^n = -1. $$ Tenemos dos secuencias que no pueden converger al mismo número, por lo que el límite en (*) no existe.
Tenga en cuenta que esta respuesta es respecto a la topología usual, no aquella definida por |$\cdot$|. La función que envía el cero a sí mismo y todo lo demás a 1 induce la topología discreta (que hace que la noción de límite sea indefinida), y podría haber otras topologías (más allá de las usuales y discretas) inducidas por otros valores absolutos.
@RickyDemer Gracias por la aclaración, sí. He aclarado tu punto en mi publicación. No había pensado en utilizar otra topología, como la que se induce por la función de valor absoluto personalizada que estamos considerando.
El argumento en mi publicación muestra que el límite no existe siempre y cuando los intervalos de números reales $(-\infty,1]$ y $[1,\infty)$ tengan cierres disyuntos. Y creo que estos ya están cerrados en cualquier topología razonable, como la que incluye la topología de orden en $\mathbb{R$, por ejemplo.
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Hay un montón de campos finitos en los que la diferenciabilidad no tiene sentido...
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Simplemente porque puedes establecer una topología en $F$ usando el valor absoluto no significa que todavía tengas diferenciabilidad como noción bien definida. La definición es de la forma $\lim_{x\to y}{\frac{f(x)-f(y)}{x-y}}$; en tu caso, $f$ es el valor absoluto, por lo que estás tomando un cociente de algo en $\mathbb{R}$ y algo en $F$, lo cual en general no necesita tener sentido. Por lo tanto, al menos necesitas restringirte a subcampos de $\mathbb{R}$ o extensiones de $\mathbb{R}$ (digamos, $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}(x)$)
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¡Gracias por tus comentarios! He editado la pregunta.
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@Hayden: No, esa operación está bien en cualquier campo-extensión de $\mathbb{R}$.
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@River: Mira mi comentario anterior.
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@RickyDemer Sí, tienes razón. Creo que aún está bien tener subcampos de $\mathbb{R}$ también. Mientras la división tenga sentido y tengas alguna topología natural que considerar en el campo donde se está tomando el cociente.