Encontrar la suma exacta

Question

Dar la serie de fourier representación de $f(x) = x$ $[-\pi, \pi]$.
Utilizar el resultado para dar la suma exacta de...

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}$$

$$\text{ where } x \in [-\pi,\pi]$$

Answer 1

Tengo la serie de fourier de la representación de: f(x) = 2[sen(x) - sin(2x) /2 + sen(3x) /3 ...] estoy teniendo un duro momento de dar la suma exacta

EDIT. Dado que su cálculo está de acuerdo con $(2)$, puede omitir la primera parte de esta respuesta.

1. Por definición de la serie de Fourier trigonométrica tenemos para $f(x)=x,$ con $x\in \left] -\pi ,\pi \right[ $ \begin{eqnarray*} x &=&\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) \tag{1} \\ a_{n} &=&\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x\cos nx\,dx=0 \\ b_{n} &=&\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x\sin nx\,dx. \end{eqnarray*} Los coeficientes $a_{n}=0$, debido a $x\cos nx$ es una función impar. Como para $b_{n}$ es integrable por partes y este es un caso donde la LIATE la reglapara la elección de los factores de el integrando puede ayudar. \begin{equation*} \int u(x)v^{\prime }(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)\,dx \end{ecuación*} De acuerdo a la misma desde $x$ es una expresión algebraica de la función y $\sin nx$ un función trigonométrica, podemos elegir $u(x)=x$, $v^{\prime }(x)=\sin nx$.
   \begin{equation*} b_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }\underset{u(x)}{\underbrace{x}} \underset{v^{\prime }(x)}{\underbrace{\sin nx}}\,dx \end{ecuación*} A continuación,$u^{\prime }(x)=1$$v(x)=\int \sin nx\,dx=-\frac{1}{n}\cos nx$. Por lo tanto \begin{eqnarray*} b_{n} &=&\left. \frac{1}{\pi }x\left( -\frac{1}{n}\cos nx\right) \right\vert _{-\pi }^{\pi }-\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }\left( -\frac{1}{n}\cos nx\right) \,dx \\ &=&-\frac{1}{n\pi }\left( \pi \cos n\pi -\left( -\pi \right) \cos \left( -n\pi \right) \right) +\left. \frac{1}{\pi }\frac{1}{n}\left( \frac{1}{n} \sin nx\right) \right\vert _{-\pi }^{\pi } \\ &=&-\frac{2}{n}\cos n\pi +\frac{1}{\pi }\frac{1}{n^{2}}\left( \sin n\pi -\sin \left( -n\pi \right) \right) \\ &=&-\frac{2}{n}\cos n\pi +\frac{2}{\pi n^{2}}\sin n\pi \\ &=&-\frac{2}{n}\cos n\pi . \end{eqnarray*} A partir de estos resultados la serie de Fourier $(1)$ es entonces \begin{equation*} x=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2}{n}\cos n\pi \sin nx,\qquad -\pi \lt x\lt \pi .\tag{2} \end{ecuación*}
2. Parcelas de $f(x)=x$ (azul) y de la suma parcial $\sum_{n=1}^{10 }\frac{-2}{n}\cos n\pi \sin nx$ (rojo) por $-\pi \lt x\lt\pi .$ La serie de Fourier converge a una función periódica $g(x)$, cuya restricción a $]-\pi,\pi[$ coincide con $f(x)=x$. El período de $g(x)$ $2\pi$ y tiene saltos en $x=\pi+2m\pi$ donde $m\in\mathbb{Z}$. En estos saltos de la serie de Fourier converge a $\frac{g(x^{-})+g(x^+)}{2}=0$. En el punto de $x=\frac{\pi }{2}$ se utiliza a continuación, por lo tanto tenemos a $g(\pi/2)=f(\pi/2)=\pi/2$.
3. Establecimiento $x=\frac{\pi }{2}$ y dividir la serie en ($n=2k$) y impar ($n=2k-1)$ términos, nos quedamos con los términos raros, solo porque el $\cos 2k\pi \pecado 2k\pi =0$, $k=1,2,\ldots $. Como tal, \begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} &=&-2\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}\cos \left( (2k-1)\pi \right) \sin \frac{\left( 2k-1\right) \pi }{2}\tag{3} \\ && \\ &&\left( \cos \left( (2k-1)\pi \right) =\cos \left( 2k\pi -\pi \right) =\cos (-\pi )=-1\right) \\ &&\left( \sin \frac{\left( 2k-1\right) \pi }{2}=\sin \left( k\pi -\frac{\pi }{2}\right) =-\cos k\pi =(-1)^{k+1}\right) \\ && \\ \frac{\pi }{2} &=&-2\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)(-1)^{k+1}}{2k-1} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{\pi }{4}.\tag{4} \end{eqnarray*}

Podemos encontrar otro ejemplo sobre cómo calcular la suma de una serie por medio de una expansión de una función en una serie de Fourier en esta respuesta.

Answer 2

Ya que $\;f\;$ es impar sólo vamos a necesitar los coeficientes del seno:

$$bn=\frac1\pi\int\limits{-\pi}^\pi t\sin nt\;dt$$

Por partes:

$$u=t\;\;,\;\;u'=1\v'=\sin nt\;,\;\;v=-\frac1n\cos nt$$

por lo que

$$bn=\left.\frac1\pi\left(-\frac tn\cos nt\right|{-\pi}^\pi+\frac1n\int\limits_{-\pi}^\pi \cos nt\;dt\right)=$$

$$=\frac1\pi\left(-\frac\pi n\cos n\pi-\frac\pi n\cos n\pi\right)+\left.\frac1{\pi n^2}\sin nt\right|_{-\pi}^\pi=-\frac2n\cos n\pi=(-1)^{n+1}\frac{2}n$$

y desde aquí

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac 2n\sin nx$$

Tome ahora $\;x=\frac\pi2\;$:

$$\frac\pi2=\sum{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac2n\sin\frac{n\pi}2=\sum{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac2{2n-1}$$

desde

$$(-1)^{n+1}\frac2n\sin\frac{n\pi}2=\begin{cases}(-1)^{n+1}\frac2n&,\;\;n=1\pmod 4\{}\(-1)^n\frac2n&,\;\;n=3\pmod 4\{}\0&,\;\;n=0,2\pmod 4\end{cases}$$

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Es útil tener un "$\tt\mbox{non-Fourier}$" respuesta:

\begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty}{\pars{-1}^{n+1} \over 2n - 1}&= \sum_{n = 0}^{\infty} \bracks{{1 \over 2\pars{2n + 1} - 1} - {1 \over 2\pars{2n + 2} - 1}} =2\sum_{n = 0}^{\infty}{1 \over \pars{4n + 1}\pars{4n + 3}} \\[3mm]&= {1 \over 8}\sum_{n = 0}^{\infty}{1 \over \pars{n + 3/4}\pars{n + 1/4}} = {1 \over 8}\,{\Psi\pars{3/4} - \Psi\pars{1/4} \over 3/4 - 1/4} \\[3mm]&={1 \over 4}\,\bracks{\Psi\pars{3 \over 4} - \Psi\pars{1 \over 4}}\tag{1} \end{align} donde $\Psi\pars{z}$ es la Función Digamma. $$ \mbox{También}\quad\Psi\pars{1 \over 4} = -\gamma - {\pi \over 2} - 3\ln\pars{2}\,, \quad\Psi\pars{3 \más de 4} = -\gamma + {\pi \over 2} - 3\ln\pars{2} $$ $$ \mbox{tales que}\quad\Psi\pars{3 \más de 4} - \Psi\pars{1 \over 4} = \pi $$ $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni Constante. Sustituyendo el resultado anterior en $\pars{1}$, se encontró

$$ \color{#00f}{\large\sum_{n =1}^{\infty}{\pars{-1}^{n + 1} \over 2n - 1} = {\pi \más de 4}} $$

Answer 4

Para este problema en particular, ya que se le da a la serie de fourier para $f(x)$, se trata de probar con varios valores de $x$ dentro del intervalo especificado. Al sustituir este valor en la serie de fourier de expansión, debe terminar de ver algo que se parece a la suma que usted está tratando de evaluar. En general, para estos tipos de preguntas de las opciones populares para $x$ a probar primero se $0, \pi/2, \pi$.

Una vez que evaluar la serie de fourier para un valor de $x$ y te encuentras con algo que se parece a la suma que usted está buscando, entonces usted puede utilizar el valor de $x$ $f(x) = x$ para obtener la respuesta.

TL;DR, encontrar una $x$ que se parece a la suma cuando está enchufado en la serie de fourier de expansión. A continuación, se conoce el valor de la suma es igual a $x$.