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Question

Deje $u = \sqrt{3+\sqrt{2}}\;$. Es $\sqrt{7} \in \mathbb{Q}\left(u\right)$? Equivalentemente, se $\mathbb{Q}(u)$ a la división de campo de la $u$$\mathbb{Q}\,$?

La pregunta original es si o no $\mathbb{Q}\left(u\right)$ es una división de campo de la $u$$\mathbb{Q}$. El polinomio mínimo de a$u$$x^4-6x^2+7$, y las cuatro raíces están dadas por los cuatro valores de $\pm\sqrt{3\pm\sqrt{2}}\;$. A continuación, la parte más difícil de demostrar que es una división de campo se reduce a mostrar $\sqrt{3-\sqrt{2}} \in \mathbb{Q}\left(u\right)$. Tenemos que

$$\sqrt{3-\sqrt{2}} \;\;=\;\; \sqrt{3-\sqrt{2}} \left(\frac{u}{u}\right) \;\;=\;\; \frac{\sqrt{7}}{u} \;\;.$$

La inversa de a $u$ está ahí porque es un campo, pero no puedo decidir si o no $\sqrt{7} \in \mathbb{Q}\left(u\right)\;$.

Answer 1

Voy a mantener esto tan elemental como sea posible, utilizando sólo el Galois de la correspondencia, es decir, el teorema fundamental de la teoría de galois.

Arreglar algunas notaciones: $u = \sqrt{3+\sqrt 2}, v=\sqrt{3-\sqrt 2}$, tenga en cuenta que $uv = \sqrt 7$.

Tenga en cuenta que los conjugados de la $u$$u,-u,v,-v$, es decir, cualquier campo homomorphism asignará $u$ a uno de estos 4 chicos. Lo mismo vale para los $v$.

Supongamos $\sqrt 7 \in \mathbb Q(u)$, es decir,$v \in \mathbb Q(u)$. Podemos deducir $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 7) \subset \mathbb Q(u)$. Ambas extensiones son de grado $4$$\mathbb Q$, de ahí que la igualdad se mantiene.

Deje $G$ ser el grupo de galois $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 7)/\mathbb Q$. $G$ es bien conocido y no es algo de $\sigma \in G$, que corrige $\sqrt 2$ y mapas de $\sqrt 7$$-\sqrt 7$. A partir de aquí, voy a derivar una contradicción.

• Tenga en cuenta que $u$ $v$ son ambos elementos primitivos de $\mathbb Q(u)=\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 7)$, por lo tanto no están fijadas por $\sigma \neq \operatorname{id}$. Esto nos deja con las posibilidades $\sigma(u) \in \{-u,v,-v\}$ $\sigma(v) \in \{-v,u,-u\}$

• Tenga en cuenta que $u^2=3+\sqrt{2}$ $v^2=3-\sqrt 2$ son fijos por $\sigma$, ya que el $\sigma$ corrige $\sqrt 2$. Esto implica que $\sigma(u)= \pm v$ no es posible, ya que obtendremos $\sigma(u^2)=v^2\neq u^2$. Este rendimientos $\sigma(u)=-u$ y similiarly llegamos $\sigma(v)=-v$. Así, podemos calcular

$$-\sqrt 7=\sigma(\sqrt 7)=\sigma(uv)=\sigma(u)\sigma(v)=(-u)(-v)=uv=\sqrt 7,$$ claramente es una contradicción!

Answer 2

Así, el polinomio mínimo de $u=\sqrt{3+\sqrt{2}}$ es $X^4-6X^2+7$. Según SageMath, su campo que es de grado $8$, con definición de polinomio $x^8 - 40x^6 + 428x^4 - 784x^2 + 196$. Por lo tanto $v=\sqrt{3-\sqrt{2}}\notin\mathbb{Q}(u)$, porque conjuga la Galois de $u$ es $\pm u$ y $\pm v$ y $-u\in\mathbb{Q}(u)$. En consecuencia, $\sqrt{7}\notin\mathbb{Q}(u)$.

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El código es (para los curiosos):