Supongamos $\mathsf C$ es una completa amplia categoría.
Me las arreglé para demostrar que un paquete de $\alpha$ es un haz de fibras con fibra de $F$ si existe un asociado de la cubierta de la $p:\coprod_iU_i\rightarrow B$ tal que $p^\ast\alpha$ es un trivial haz de fibras con fibra de $F$. Para ello, he utilizado el hecho de amplias categorías de productos son distributiva.
$$\require{AMScd} \begin{CD} U_i\times F @>>> A\\ @VVV @VV{\alpha}V\\ U_i @>>> B \end{CD}\forall i\iff\require{AMScd} \begin{CD} \coprod_iU_i\times F @>>> A\\ @V{p^\ast\alpha}VV @VV{\alpha}V\\ \coprod_iU_i @>>{p}> B \end{CD}$$
Ahora, he leído que:
No es realmente importante para requerir que todos los $F_b$ por encima de ser homeomórficos el uno al otro. Sin ese requisito no es todavía una descripción razonable de localmente trivial paquetes, es decir, como aquellos que se divide en algunos $(E,p)$ donde $p$ es un surjective local homeomorphism, con trivial paquetes reemplazados por sus co-productos en la flecha de la categoría de $\mathsf{Top}$.
Pero no entiendo lo que esto significa. Supongamos que restringir sólo a $p:\coprod _i U_i\rightarrow B$ de los asociados de la cubierta del cubrimiento de la familia. Es decir el derecho de la plaza es un retroceso fib todos los de la izquierda son?
$$\require{AMScd} \begin{CD} U_i\times F_i @>>> A\\ @VVV @VV{\alpha}V\\ U_i @>>> B \end{CD}\forall i\iff\require{AMScd} \begin{CD} \coprod_iU_i\times F_i @>>> A\\ @V{p^\ast\alpha}VV @VV{\alpha}V\\ \coprod_iU_i @>>{p}> B \end{CD}$$
Qué hago aquí?
Añadido. Me han contestado a mi pregunta original de abajo, pero estoy desorientado sobre el caso de $p:E\rightarrow B$ general étale surjection.
