No sé la respuesta exacta, pero puedo derivar una suerte razonable límite superior.
Considere la posibilidad de una línea de vista en la dirección $\alpha$. Por las simetrías (diedro grupo de orden 8) podemos asumir que $0\le\alpha\le\pi/4$. Deje $\rho=\tan\alpha$ ser la pendiente de esta línea, así que estamos buscando a lo largo de la línea de $L:y=\rho x$.
Escoge un entero $N$ tal que $N-1>1/r$. La línea de $L$ cruza las líneas verticales $x=i$, $i=1,2,\ldots,N$ en puntos de $P_i=(i,i\rho)$. [Edit: Una tontería, pero potencialmente confuso error tipográfico fue aquí como yo había escrito $N\rho$ en lugar de $i\rho$ ] consideremos las partes fraccionarias de la $y$-las coordenadas de estos puntos. Para el punto de $P_i$ esto es $y_i=\{i\rho\}=i\rho-[i\rho]$. Los números de $y_1,y_2,\ldots,y_N\in [0,1)$. Vamos a poner estos $N$ número $N-1$ baldes de acuerdo con el valor de $[(N-1)y_i]\in\{0,1,\ldots,N-2\}$. Por el encasillar a principio al menos dos número, decir $y_k$ $y_\ell$ terminan en la misma cubeta. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $k>\ell$. A continuación,$|y_k-y_\ell|\le1/(N-1)<r$. Pero también tenemos
$$
y_k-y_\ell\equiv y_{k-\ell} \pmod1.
$$
(o $y_k-y_\ell$ difiere de $y_{k-\ell}$ por un número entero). Por lo tanto, el punto de $P_{k-\ell}$ está dentro de la distancia $r$ a un punto de $\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}$. Obviamente aquí $0<k-\ell\le N$.
Hemos demostrado que esta línea se bloqueará a una distancia en la mayoría de las $N\sqrt{1+\tan^2\alpha}\le \sqrt2 N$. Aquí $N=1+\lceil(1/r)\rceil$, por lo que nos han demostrado que la distancia máxima $d=d(r)$ que podemos ver satisface la desigualdad
$$
d(r)\le\sqrt2\left(1+\lceil\frac1r\rceil\right).
$$
