La aplicación de análisis para resolver una línea-de-vista problema

Question

Este era un opcional h.w. problema:

Usted está en el origen en $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. Hay árboles, de un determinado radio finito en cada punto en $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ (distinta de la de origen).

¿Hasta dónde se puede ver?

Esto se hizo en (creo), el contexto de la Piedra-Teorema de Weierstrass. Por lo que he estado pensando que debe haber cierta distancia, donde los diámetros de los árboles visualmente convergen y se obtiene un polinomio de aproximación de un límite visual.

Gracias por su amabilidad al responder.

Answer 1

Este el famoso Polya Huerto Problema.

El enlace es a un debate a fondo por Honsberger, estropeado un poco por el hecho de que se trata de la búsqueda de Libros de Google. La discusión es bastante elemental.

Otra discusión detallada se puede encontrar aquí. Algo más se utiliza maquinaria.

No sé de una conexión con la Piedra-Teorema de Weierstrass, pero que podría ser muy bien debido a mi debilidad en el análisis.

Answer 2

No sé la respuesta exacta, pero puedo derivar una suerte razonable límite superior.

Considere la posibilidad de una línea de vista en la dirección $\alpha$. Por las simetrías (diedro grupo de orden 8) podemos asumir que $0\le\alpha\le\pi/4$. Deje $\rho=\tan\alpha$ ser la pendiente de esta línea, así que estamos buscando a lo largo de la línea de $L:y=\rho x$.

Escoge un entero $N$ tal que $N-1>1/r$. La línea de $L$ cruza las líneas verticales $x=i$, $i=1,2,\ldots,N$ en puntos de $P_i=(i,i\rho)$. [Edit: Una tontería, pero potencialmente confuso error tipográfico fue aquí como yo había escrito $N\rho$ en lugar de $i\rho$ ] consideremos las partes fraccionarias de la $y$-las coordenadas de estos puntos. Para el punto de $P_i$ esto es $y_i=\{i\rho\}=i\rho-[i\rho]$. Los números de $y_1,y_2,\ldots,y_N\in [0,1)$. Vamos a poner estos $N$ número $N-1$ baldes de acuerdo con el valor de $[(N-1)y_i]\in\{0,1,\ldots,N-2\}$. Por el encasillar a principio al menos dos número, decir $y_k$ $y_\ell$ terminan en la misma cubeta. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $k>\ell$. A continuación,$|y_k-y_\ell|\le1/(N-1)<r$. Pero también tenemos $$y_k-y_\ell\equiv y_{k-\ell} \pmod1.$$ (o $y_k-y_\ell$ difiere de $y_{k-\ell}$ por un número entero). Por lo tanto, el punto de $P_{k-\ell}$ está dentro de la distancia $r$ a un punto de $\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}$. Obviamente aquí $0<k-\ell\le N$.

Hemos demostrado que esta línea se bloqueará a una distancia en la mayoría de las $N\sqrt{1+\tan^2\alpha}\le \sqrt2 N$. Aquí $N=1+\lceil(1/r)\rceil$, por lo que nos han demostrado que la distancia máxima $d=d(r)$ que podemos ver satisface la desigualdad $$d(r)\le\sqrt2\left(1+\lceil\frac1r\rceil\right).$$