$\int_0^{\infty} \dfrac{1}{(1+x^2)^2}dx$ De computación uso de Plancherel

Question

Quiero calcular $\int_0^{\infty} \dfrac{1}{(1+x^2)^2}dx$, el uso de Plancherel.

Así definen $f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ , a continuación, $f\in L_1\cap L_2$ por Plancherel sabemos que $||f||_2 =||\hat{f}||_2$ donde $\hat{f}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ixt}dx$.

Así que tenemos que $$\int_0^{\infty} \dfrac{1}{(1+x^2)^2}dx = ||f||_2^2 = ||\hat{f}||_2^2 = \int_0^{\infty}( \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x)e^{-ixt}dx)^2dt = $$

$$\dfrac{1}{2\pi}\int_0^\infty(\int_0^\infty\dfrac{e^{-ixt}}{1+x^{2}}dx)^2dt$$

Esta fue la orientación en el ejercicio (el uso de Plancherel) y me parece un poco difícil (o tal vez me estoy perdiendo algo). Es el interior de la integral fácil de calcular? Si es así, ¿cómo?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Esta no es la manera que usted lo pidió para la integral se calcula, pero es una manera que podría ser calculada.

Considere la integral indefinida $$I_n=\int\frac{\mathrm{d}x}{(ax^2+b)^n}$$ La integración por partes con $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$da $$I_n=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int\frac{ax^2\ \mathrm{d}x}{(ax^2+b)^{n+1}}$$ $$I_n=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int\frac{ax^2+b}{(ax^2+b)^{n+1}}\mathrm{d}x-2bn\int\frac{\mathrm{d}x}{(ax^2+b)^{n+1}}$$ $$I_n=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2nI_n-2bnI_{n+1}$$ $$2bnI_{n+1}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+(2n-1)I_n$$ $$I_{n+1}=\frac{x}{2bn(ax^2+b)^n}+\frac{2n-1}{2bn}I_n$$ $$I_n=\frac{x}{2b(n-1)(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2b(n-1)}I_{n-1}$$ Conectar $a=1,\,b=1,\,n=2$, y la evaluación de la forma $x=0$ a $x=\infty$ da su integral como $$\frac12\int_0^\infty \frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\frac\pi4$$

Answer 2

Permítanme definir $f$ como se ha definido, es decir, $f(x) =(1+x^2)^{-1}$. En este caso Plancherel no hace que la evaluación sea mucho más fácil. Sin embargo, en este tipo de ejercicios suelen asumir que usted sabe que $$\hat f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} }\int_\mathbb{R} e^{-itx} f(x) \, dx =\sqrt{\frac\pi 2}e^{-|t|}. $$ Por ejemplo, la búsqueda de la transformada de Fourier de ese $f$ se pide en un ejercicio anterior o se da como ejemplo en sus notas. De todos modos usted puede encontrar una prueba en este enlace. Veamos ahora el uso de Plancherel para concluir \begin{align} \int_0^\infty \frac 1 {(1+x^2)^2}\,dx&=\frac 1 2 \int_\mathbb{R} |f(x) |^2\,dx \\ &=\frac 1 2 \int_\mathbb{R} |\hat f(x) |^2\,dx \\ &=\frac 1 2 \int_\mathbb{R} \frac\pi 2e^{-2|t|}\,dt \end{align} La última integral es elemental $$\frac 1 2 \int_\mathbb{R} \frac\pi 2e^{-2|t|}\,dt = \int_0^\infty\frac\pi 2e^{-2t}\,dt = \frac \pi 4$$