$a(x-a)^2+b(x-b)^2=0$ tiene una solución; $a, b$ no son $0$. Prueba $|a|=|b|$

Question

$a(x-a)^2+b(x-b)^2=0$ tiene una solución; $a, b$ no $0$. Demostrar $|a|=|b|$

la simplificación de la ecuación:
$$(a+b)x^2-2(a^2+b^2)x+(a^3+b^3)=0$$

la solución para que el Discriminante $D=0$, tengo: $$a(a^2b-2ab^2+b^3)=0$$ y desde $a$ no puede igualar $0$, tengo: $$a=b \implies |a|=|b|$$ De la misma manera yo también tengo: $$b=a$$

Pero no es necesario que los valores absolutos de $a, b$ porque me $a=b$ (lo que significa que $|a|=|b|$ no es necesario) y la comprobación de la ecuación de $a$ no puede igualar $-b$ porque entonces la ecuación se tiene una infinidad de soluciones en lugar de uno sólo como se especifica en la tarea.

Ahora, porque tengo que demostrar que $|a|=|b|$ y no se que $a=b$, creo que me falta algo. Así que, ¿me estoy perdiendo algo o es mi solución correcta?

Answer 1

Su solución es correcta, ya que finalmente lleva a la $(a-b)^2 = 0$ lo que implica que $a=b$. Tiene un pequeño error, sin embargo, ya que usted todavía necesita para considerar la posibilidad de $A=2(a+b) = 0 \Leftrightarrow a = -b$ lo que implica entonces $|a|=|b|$. Para el resto, por supuesto, es :

$$a=b \Rightarrow |a| = |b|$$

Por lo tanto, en cualquier caso, debe ser $|a| = |b|$.

Nota estricto, de una manera implicación $(\Rightarrow)$. Esto se sostiene solamente desde $a=b$. Si se $|a| = |b|$ , a continuación, usted no puede decir que es $a=b$.

Se te pide demostrar que si la ecuación tiene una solución, entonces el siguiente titular. Estrictamente matemáticamente esta es una forma de implicación $(\Rightarrow)$ que realmente conduce al resultado deseado por su solución. Por supuesto, si se trataba de un iff caso que es un camino de dos implicación $(\Leftrightarrow)$ , no te espera.

Answer 2

Que <span class="math-container">$$f(x)=a(x-a)^2+b(x-b)^2$ $</span>

Si <span class="math-container">$a=-b$</span> luego

<span class="math-container">$$f(x)=-4xa^2$$</span>

Si la raíz es cero, entonces <span class="math-container">$a=-b$</span>.

Cuando usted calcula el discriminante <span class="math-container">$D$</span>, había que asumir <span class="math-container">$a+b\ne 0$</span>.

Answer 3

Oh boy! La incorporación de hamam_Abdallah la respuesta a sus esfuerzos:

Nota: $(a+b)x^2-2(a^2+b^2)x+(a^3+b^3)=0$ a tener una solución.

Así que, naturalmente, hizo que la ecuación cuadrática para obtener las soluciones son

$x= \frac {2(a^2 +b^2) \pm \sqrt{D}}{2(a+b)}$ y para que eso tiene una única solución que usted necesita $D= 0$.

Que bien, hasta el punto de que puede asumir la $2(a+b) \ne 0$.

Usted ha olvidado tomar en cuenta la posibilidad de que $2(a+b) = 0$ o $a = -b$.

Si $a = - b$ consigue:

$(a+b)x^2-2(a^2+b^2)x+(a^3+b^3)=0\implies -2(a^2+b^2)x+(a^3+b^3)=0$ que es una ecuación lineal y tiene exactamente una solución (suponiendo $-2(a^2 +b^2) \ne 0$ que no si $a=-b \ne 0$).

Así, por $(a+b)x^2-2(a^2+b^2)x+(a^3+b^3)=0$ a tener una solución:

1) $(a+b) = 0$ y la ecuación es una ecuación lineal.

O

2) $(a+b) \ne 0$ e $D = (-2(a^2 + b^2))^2 - 4(a+b)(a^3 + b^3) = 0$ ) y la ecuación es una ecuación cuadrática con una doble raíz.

Si 1) entonces obtenemos $a = -b$.

Si 2) a continuación, llegamos $a = b$.

.....

(Que en realidad no siga sus cálculos, pero la mía tiene el mismo resultado:

$4(a^2 + b^2)^2 - 4(a+b)(a^3 + b^3) = 0$

$a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = a^4 + ab^3 + a^3b + b^3$

$2a^2b^2 = ab^3 + a^3b$

$2ab = b^2 + a^2$

$(b -a)^2 = 0$

$b =a$.

)

===

Por lo que vale.

Si 1) $a = -b$ entonces la solución es $x = -\frac {a^3 + b^3}{-2(a^2 + b^2)}=\frac {a^3 - a^3}{-2(a^2 + a^2)} = 0$.

Y si 2)$a = b$ , entonces la solución es $x = \frac {2(a^2 + b^2)\pm \sqrt{D}}{2(a+b)} = \frac {2a^2}{2a} = a$.