$W$ giro implica $\partial W$ spin

Question

Deje $M$ ser una compacta orientable colector con los dos primeros Stieffel-Whitney números igual a cero (esta es mi definición de la vuelta del colector). Deje $B$ ser el límite de $M$; quiero mostrar que $B$ es girar (en el sentido de que ya he indicado).

Sé que no es un teorema de Pontryagin que tiene en un contexto más general y le da un fuerte resultado (si $M$ es un compacto de manifold con frontera, de la Stieffel-Whitney números de $w_i$ con $i \geq 1$ de $\partial M$ desaparecer), pero yo estaba vagando si en este caso no existe una simple prueba de este hecho.

Sé por ejemplo que si $TM$ es orientable (como paquete, ya que como colector siempre es orientable) de $M$ es girar iff la restricción de la tangente paquete a la 2-esqueleto de la $M$ es trivial (dado un celularización de M como el CW-complejo). El problema es que no sé cómo usar este, ya que no sé cómo se relacionan las $2$-esqueleto de la $\partial M$ a de la $2$-esqueleto de la $M$.

Answer 1

Hay algunas confusiones aquí debo aclarar antes de contestar.

1) Esta es una definición de spinnable colector, no de un giro colector. (Similar a la diferencia entre orientado colector y orientable colector.) Cuando giro estructuras existen, hay $H^1(W;\Bbb Z/2)$-muchos de ellos, y un spin colector requiere una tal elección.

2) Si $M$ es el límite de otra colector $W$, entonces no es necesariamente cierto que la Stiefel-Whitney clases de $w_i(M) \in H^i(M;\Bbb Z/2)$ se desvanecen. Por ejemplo, si $M$ ha trivial $w_i(M)$ para $i < \dim M$, entonces también lo hace $M \# M$, pero el último es siempre null-bordant. ¿Qué lugar es el caso, es que el Stiefel-Whitney números de desaparecer. Estos son los resultados de todos los productos de $w_i(M)$de la tierra en la $H^{\dim M}(M; \Bbb Z/2) \cong \Bbb Z/2$; están marcados por las particiones de $\dim M$.

3) Un vector paquete de $E$ de rango , al menos, 3 es spinnable si y sólo si es trivializable por encima de los 2-esqueleto. Esto no es cierto para conjuntos de rango 2: hay spinnable paquetes que no son triviales sobre el 2-esqueleto. Creo $TS^2$.

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En cuanto a tu pregunta, el punto es que tenemos un isomorfismo natural $T(\partial W) \oplus \Bbb R \cong TW\big|_{\partial W}$. El fácil argumento es que si $W$ es spinnable, a continuación, $\partial W$ es spinnable: connaturalidad de Stiefel-Whitney clases implica que $j^*(w_i(W)) = w_i(\partial W)$, donde $j: \partial W \to W$ es la inclusión. Si usted ya sabe que $w_1(W) = w_2(W) = 0$, por lo tanto sabemos que como bien $\partial W$. Este argumento se aplica para cualquier condición definida por la fuga de un conjunto de Stiefel-Whitney clases.

Realmente definir el giro específico de la estructura, tenemos que ser capaces de argumentar que un giro de la estructura en $E \oplus \Bbb R$ induce un natural de giro de la estructura en $E$. (Esto es cierto para las orientaciones!) Esto equivale a la inversa de la afirmación de que el mapa envío de spin estructuras en $E$ a girar estructuras en $E \oplus \Bbb R$ (a través de la natural mapa de $\text{Spin}(n) \to \text{Spin}(n+1)$) es un bijection; y esto puede ser verificado mediante el spin estructuras son afines sobre el grupo de clases de isomorfismo de la línea real de los fardos, aka $H^1(W;\Bbb Z/2)$.

Este argumento no sirve para cualquier tipo de estructura en la tangente del paquete. Por ejemplo, un famoso que no funciona es el "$W$ parallelizable implica $\partial W$ parallelizable". Cada disco de $D^n$ es parallelizable, pero la única esferas que se se $S^0, S^1, S^3$, e $S^7$. En el argumento anterior, la forma en que se presentó fue en nuestras descripciones de spin estructuras como afín a más de $H^1(W;\Bbb Z/2)$, lo cual es cierto para girar las estructuras en el rango $n$ paquetes para todos los $n$; como banalizaciones son más afín $[W, SO(n)]$, que depende de la $n$ hasta $n$ es bastante grande.