Si $\sum_{k=0}^\infty a_k$ es convergente con el valor de $s$, lo que acerca de $\sum_{k=0}^\infty b_k$ donde $b_k=a_{k+1}- 2 a_{k+3}$?
Mi razonamiento: $$\sum_{k=0}^\infty b_k =\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n b_k=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^na_{k+1}-2a_{k+3} $$ Dentro de la suma que sólo estamos tratando con un número finito de términos, podemos dividir la suma y tomar el límite después: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n b_k=\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k=0}^n a_{k+1}- \sum_{k=0}^n 2a_{k+3} \right) $$ Ahora queremos llegar a$s$ en aquí, el valor de nuestros suma, tenemos que hacer algunos el índice de de malabares, ya que nuestra suma no de la forma correcta, sin embargo. $$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k=0}^n a_{k} - a_0- 2\sum_{k=0}^n a_{k} +2a_0 + 2a_1+2a_2\right) $$ Aquí se aplica un índice de cambio, pero necesitamos compensar los términos que hemos añadido a la suma, finalmente aplicamos el límite y conseguir: $$\sum_{k=0}^\infty b_k=s +a_0-2s+2a_1+2a_2= a_0+2a_1+2a_2 -s $$
Hizo que todo tenga sentido, es mi razonamiento correcto? conclusión: converge como calculamos el valor exacto.
