Considere la posibilidad de $X = \mathcal{C}([−1,1])$ con la norma habitual $\|f\|_{\infty} = \sup_{t\in [−1,1]}|f(t)|.$
Definir $$\mathcal{A}_{+}=\{ f \in X : f(t)=f(−t) \space \forall t\in [−1,1]\},$$ $$\mathcal{A}_{−}=\{ f \in X : f(t)=−f(−t) \space \forall t \in [−1,1]\}. $$
Es $\mathcal{A}_{+} +\mathcal{A}_{−} = \{f +g : f \in \mathcal{A}_{+},g \in \mathcal{A}_{−}\}$ magro?
Sé que este conjunto es denso por la Piedra-Teorema de Weierstrass. Sin embargo, eso realmente no ayuda. También sé que si el conjunto es cerrado, entonces es escaso, pero tengo dificultades para decidir si se cierra o no. Sé que la función exponencial es un límite de una secuencia de una suma de pares e impares funciones, sin embargo se podría definir a ser que, en caso de que no ayuda.
Consejos sobre cómo salir de este problema, y si el conjunto de $\mathcal{A}_{+}+{A}_{-} $ es cerrado o no? Gracias de antemano.
