¿Un patrón en los determinantes de los números de Fibonacci?

Question

Sea $F_n$ denotan el $n$ th Número de Fibonacci adoptando el convenio $F_1=1$ , $F_2=1$ etc. Considere la $n\times n$ definida por

$$\mathbf M_n:=\begin{bmatrix}F_1&F_2&\dots&F_n\\F_{n+1}&F_{n+2}&\dots&F_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\F_{n^2-n+1}&F_{n^2-n+2}&\dots&F_{n^2}\end{bmatrix}.$$

Tengo la siguiente conjetura:

Conjetura. Para todos los números enteros $n\geq3$ , $\det\mathbf M_n=0$ .

He utilizado algo de código Python para probar esta conjetura para $n$ hasta $9$ pero no puedo ir más allá. Tenga en cuenta que $\det\mathbf M_1=\det\mathbf M_2=1$ . Debido a la naturaleza elemental de este problema, tengo que suponer que ya se ha debatido antes, quizás incluso en este sitio. Pero no he podido encontrar ninguna referencia al respecto, ni googleando ni buscando aquí. ¿Puede alguien aclarar si la conjetura es cierta, y una prueba de ello en caso afirmativo?

Answer 1

He aquí una pista: ¿cuál es la relación entre $F_{k+1}+F_{k+2}$ y $F_{k+3}$ ? ¿Qué dice eso de la 1ª, 2ª y 3ª columnas de esta matriz?

Answer 2

La resolución es notablemente sencilla (muchas gracias a respuesta de obscurans por la pista). Por la definición de los números de Fibonacci, $F_k+F_{k+1}=F_{k+2}$ para todos $k$ . Si $n\geq3$ entonces estos números estarán en las tres primeras columnas de cada fila. Por lo tanto, las tres primeras filas son linealmente dependientes, por lo que el determinante es $0$ . De ello se deduce que cualquier secuencia de este tipo que siga una recurrencia lineal (de la forma $F_{n}=aF_{n-1}+bF_{n-2}$ , $a,b$ son constantes), con términos iniciales posiblemente diferentes, también satisface la conjetura planteada. De hecho, esto demuestra que todas esas matrices tienen rango $2$ con las dos únicas columnas linealmente independientes siendo las dos primeras. Si la recurrencia lineal es de orden superior, digamos $m$ entonces el determinante es $0$ cuando $n>m$ y el rango de la matriz será $m$ .