¿Por qué hace cálculo de $\exp z$ con $\ln z$ mediante el método de newton-raphson no convergen?

Question

¿Estoy tratando de calcular <span class="math-container">$\exp z$</span> con <span class="math-container">$\ln z$</span> a través el método de Newton-Raphson <span class="math-container">$$x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f^{'}(xn)} $$and got the formula <span class="math-container">$$ x{n+1}=x_n-\frac{\ln x_n-z}{\frac{1}{x_n}}$$</span> where <span class="math-container">$z = a + bi$</span> is the value i'm trying to iterate to. However this formula only converges when <span class="math-container">$-3 . But, if <span class="math-container">$z $</span> is instead any real number the formula converges accurately. Why does the formula not converge to any complex <span class="math-container">$z$</span>, y cómo puedo solucionarlo para que lo hace?</span></span>

Answer 1

El complejo, director logaritmo $\text{Log}(z)$ se define por $$\text{Log}(z) = \ln|z| + i \ \text{Arg}(z),$$ donde $\text{Arg}$ representa el principal argumento de $z$ - que es $\text{Arg}(z)$ representa el ángulo que $z$ hace contra el real positiva del eje cuando se ve en forma polar. El principal argumento, nos referimos a que $$-\pi < \text{Arg}(z) \leq \pi.$$ Como resultado, $\text{Log}(w) = z$ no tiene solución si $|\text{Im}(z)|>\pi$ así que usted no puede esperar que el uso de la formulación para calcular $e^z$.

Para solucionar esto, se puede definir su propia rama del logaritmo con el correspondiente valor de la parte imaginaria. Por ejemplo, desde 12 se entre $3\pi$ e $5\pi$, usted puede definir su logaritmo por $$\text{LOG}(z) = \ln|z| + i \ (\text{Arg}(z) + 4\pi).$$ He aquí una sencilla aplicación con la Salvia..