Valor mínimo de la función dada

Question

Valor mínimo de $$\sqrt{2x^2+2x+1} +\sqrt{2x^2-10x+13}$$ es $\sqrt{\alpha}$ entonces $\alpha$ es________ .

Intento

Escribió la ecuación como suma de las distancias del punto A(-1,2) y del punto B(2,5) como $$\sqrt{(x+1)^2 +(x+2-2)^2} +\sqrt{(x-2)^2 + (x+2-5)^2}$$ Por lo tanto, el punto se encuentra en la línea y=x+2 es la suma mínima de la distancia de los dos puntos dados anteriormente.

Pero desde aquí no soy capaz de obtener el valor de x y por tanto $\alpha$ . ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Hay varias maneras de hacerlo, incluyendo la fuerza bruta y el cálculo, pero como ya has encontrado la interpretación geométrica bastante agradable como la suma de las distancias de los puntos dados, vamos a hacerlo.

Algunas cosas serán útiles aquí.

1. La línea en la que $A$ y $B$ la mentira es $y=x+3$ que es paralela a su línea de interés (es decir $y=x+2$ ).
2. Ambas líneas tienen pendiente $1$ .

Esta es la idea general: Obsérvese que la suma de las distancias es mínima a lo largo de la bisectriz del segmento de línea $AB$ el mínimo real está en el punto de intersección de la bisectriz y $y=x+3$ pero como se tiene una restricción adicional, se encuentra la intersección de la bisectriz con $y=x+2$ Llámalo $C$ .

Tenga en cuenta que si se dejan caer perpendiculares a $x$ y $y$ ejes respectivamente de $A$ y $B$ se cruzan en $A'=(0,2)$ y $B'=(2,4)$ . Notarás que su punto medio es $C$ . Entonces $C$ resulta ser $(1,3)$ . Eso nos da que $\alpha=20$ .

Answer 2

Su método también es muy bueno. Considere los dos puntos $A(-1,2)$ y $B(2,5)$ . Tenemos que encontrar el punto $(x,x+2)$ en la línea $y=x+2$ para el que la suma $AD+BD$ es mínimo (véase el gráfico siguiente).

$\hspace{3cm}$

Reflejas el punto $A$ sobre la línea $y=x+2$ para encontrar el punto $C(0,1)$ . La línea que atraviesa $C$ y $B$ es $y=2x+1$ . Las dos líneas se cruzan en $D(1,3)$ que es la solución del problema dado. Por lo tanto, cuando $x=1$ la suma será mínima $\sqrt{20}$ .

Answer 3

Dejando $x=t+1$ obtenemos una función par $$\sqrt{2t^2+6t+5}+\sqrt{2t^2-6t+5}.$$ Ahora demostramos que el valor mínimo se alcanza en $t=0$ : tenemos que verificar $$\sqrt{2t^2+6t+5}+\sqrt{2t^2-6t+5}\geq \sqrt{20}$$ o, después de la cuadratura, $$4t^2+10+2\sqrt{4t^4-16t^2+25}\geq 20$$ es decir $$\sqrt{(5-2t^2)^2+4t^2}\geq 5-2t^2$$ que se mantiene trivialmente.

Answer 4

Una pista.

Llamando a $f(x) = \sqrt{x^2+(x+1)^2}$ buscamos para

$$\min_x f(x) + f(x-3)$$

Answer 5

Si escribimos esto como $$\sqrt{x^2+(x+1)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(x-3)^2}$$ entonces estamos buscando un punto $T$ en línea $y=x$ para lo cual $TA+TB$ toma como mínimo donde $A(0,-1)$ y $B(3,2)$ .

Ahora bien, este es un problema bien conocido de los antiguos griegos. Refleja $A$ a través de esta línea y obtener $A'(-1,0)$ . Por la desigualdad del triángulo podemos ver que $TA+TB\geq A'B$ y que el mínimo se alcanza en la intersección de las líneas $y=x$ y la línea $A'B$ que es $y = {x +1 \over 2}$ .

Así que $\alpha = A'B^2 = 20$ .