Presente $ \varepsilon_1 = \angle BEH$ , $ \varepsilon_2 = \angle HCI$ , $d=DH=DE$ , $ \gamma = \angle C$ , $ \delta = \angle HDI= \angle EDI$ , $a=BC$ . Tenemos que probar que $ \varepsilon_1 = \varepsilon_2 $ .
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Encontremos primero la conexión entre $d$ y $ \delta $ no son independientes:
$$BA=BD+DA$$
$$a \sin\gamma = \frac {d}{ \cos\gamma }+d \cos ( \pi -2 \delta - \gamma )= \frac {d}{ \cos\gamma }-d \cos (2 \delta + \gamma )$$
$$ \frac ad= \frac {1- \cos\gamma\cos (2 \delta + \gamma )}{ \sin\gamma\cos\gamma } \tag {1}$$
Ahora aplica la ley de los pecados al triángulo $ \triangle BEH$ :
$$ \frac {BH}{ \sin\varepsilon_1 }= \frac {HE}{ \sin ( \delta - \varepsilon_1 )}$$
$$ \frac {d \tan\gamma }{ \sin\varepsilon_1 }= \frac {2d \sin\delta }{ \sin ( \delta - \varepsilon_1 )} \tag {1'}$$
Resolver para $ \varepsilon_1 $ y tú te quedas:
$$ \cot\varepsilon_1 =2 \cot\gamma + \cot\delta\tag {2}$$
Ahora aplica la ley de los pecados al triángulo $ \triangle HCI$ :
$$ \frac {HI}{ \sin\varepsilon_2 }= \frac {HC}{ \sin ( \pi - \delta - \varepsilon_2 )}= \frac {BC-BH}{ \sin ( \delta + \varepsilon_2 )}$$
$$ \frac {d \sin\beta }{ \sin\varepsilon_2 }= \frac {a-d \tan\gamma }{ \sin ( \delta + \varepsilon_2 )} \tag {2'}$$
Resolver para $ \varepsilon_2 $ y tú te quedas:
$$ \cot\varepsilon_2 = \frac { \frac ad- \tan\gamma }{ \sin ^2 \delta }- \cot\delta\tag {3}$$
Ahora reemplace (1) por (3). La expresión tiene que evolucionar en (2), asumiendo que el enunciado del problema es verdadero. Al principio parece bastante desesperado, pero si sobrevives a las primeras líneas, serás recompensado rápidamente:
$$ \cot\varepsilon_2 = \frac { \frac {1- \cos\gamma\cos (2 \delta + \gamma )}{ \sin\gamma\cos\gamma }- \tan\gamma }{ \sin ^2 \delta }- \cot\delta $$
$$ \cot\varepsilon_2 = \frac {1- \cos\gamma\cos (2 \delta + \gamma )- \sin ^2 \gamma }{ \sin ^2 \delta\sin\gamma\cos\gamma }- \frac { \cos\delta }{ \sin\delta }$$
$$ \cot\varepsilon_2 = \frac { \cos\gamma - \cos (2 \delta + \gamma )}{ \sin ^2 \delta\sin\gamma }- \frac { \cos\delta }{ \sin\delta }$$
$$ \cot\varepsilon_2 = \frac { \cos\gamma - \cos (2 \delta ) \cos\gamma + \sin (2 \delta ) \sin\gamma - \sin\delta\cos\delta\sin\gamma }{ \sin ^2 \delta\sin\gamma }$$
$$ \cot\varepsilon_2 = \frac { \cos\gamma - \cos (2 \delta ) \cos\gamma }{ \sin ^2 \delta\sin\gamma }+ \frac {2 \sin\delta\cos\delta\sin\gamma - \sin\delta\cos\delta\sin\gamma }{ \sin ^2 \delta\sin\gamma }$$
$$ \cot\varepsilon_2 = \frac { \cos\gamma -(2 \cos ^2 \delta -1) \cos\gamma }{ \sin ^2 \delta\sin\gamma }+ \cot\delta $$
$$ \cot\varepsilon_2 = \frac {2 \cos\gamma (1- \cos ^2 \delta )}{ \sin ^2 \delta\sin\gamma }+ \cot\delta $$
$$ \cot\varepsilon_2 =2 \cot\gamma + \cot\delta $$
$$ \cot\varepsilon_2 = \cot\varepsilon_1 $$
Hecho.
EDITAR: Déjame mostrarte cómo llegué de (1') a (2)
$$ \frac {d \tan\gamma }{ \sin\varepsilon_1 }= \frac {2d \sin\delta }{ \sin ( \delta - \varepsilon_1 )} \tag {1'}$$
$${ \tan\gamma }{ \sin ( \delta - \varepsilon_1 )}={2 \sin\delta }{ \sin\varepsilon_1 }$$
$${ \tan\gamma }{( \sin\delta\cos\varepsilon_1 - \cos\delta\sin\varepsilon_1 )}={2 \sin\delta }{ \sin\varepsilon_1 }$$
Ahora divide ambos lados con ${ \sin\delta }{ \sin\varepsilon_1 }{ \tan\gamma }$ :
$$ \cot\varepsilon_1 - \cot\delta =2 \cot\gamma $$
$$ \cot\varepsilon_1 =2 \cot\gamma + \cot\delta $$
...que es (2). El mismo procedimiento te llevará del (2') al (3).
