¿El teorema de cambio de Riemann nunca contribuyó en cómputo en lugar de simplemente ser una advertencia?

Question

Un curso decente en un análisis elemental finalmente hablar de la serie, de convergencia absoluta, de convergencia condicional, y la definición de la integral de Reordenamiento del Teorema. Sin embargo, en cualquier presentación que he visto, en persona o dentro de un texto, la discusión de ordenación de los extremos después de Riemann, es el teorema de dados---todo el contenido de la prueba al estudiante(s) o el lector que uno no debe extender finito intuición infinita, sin proporcionar una prueba.

Estoy de acuerdo en que este es un importante morales para impartir; sin embargo, estoy interesado en algo más:

Tiene la definición de la integral de Reordenamiento del teorema ha sido utilizado como una ayuda computacional explícitamente calcular una suma?

Por esta pregunta vaga, me específicamente tener en cuenta que la pieza de Riemann del Teorema de que los estados absolutamente convergente la serie es commutatively convergente. Así que, para ser un poco más estrecha en el ámbito:

Ha habido una serie de $\sum a_k$ que es bastante fácil de mostrar absolutamente converge; sin embargo, la misma suma se calcula mediante una inteligente elección de bijection $\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ y por el trabajo con las sumas parciales de $\sum a_{\sigma(k)}$?

Esta es una pregunta vaga, y no quiero esperar mucho de una respuesta absoluta. Pero estoy interesado en cualquier variedad de respuestas, y estoy seguro de que sería demostrativo y útil para los lectores futuros.

Answer 1

Proffering una aplicación del teorema de reordenamiento. No estoy seguro de que esto es exactamente lo que quieres, porque no hay ningún cálculo real de la suma en una forma cerrada.

La existencia de doblemente funciones periódicas. Es decir, las funciones de $f(z)$ que son meromorphic en todo el plano complejo, y tiene dos períodos, decir $\omega_1,\omega_2\in\Bbb{C}$ que son linealmente independientes sobre $\Bbb{R}$. En otras palabras, se requiere que la identidad $$ f(z+m\omega_1+n\omega_2)=f(z) $$ tiene para todos los no-polos $z$ y todos los números enteros $m,n$.

Vamos a escribir $$\Lambda=\{m\omega_1+n\omega_2\mid m,n\in\Bbb{Z}\}.$$ Bajo el supuesto de que $\omega_1/\omega_2\notin\Bbb{R}$ tenemos que $\Lambda$ es un subconjunto discreto de $\Bbb{C}$ que es también un aditivo libre abelian grupo de rango dos.

Una construcción idea es empezar con una doblemente infinita suma $$ f_{\Lambda}(z)=\sum_{\lambda\en\Lambda}\frac1{(z-\lambda)^3}. $$ Si fijamos un $\epsilon>0$ no es difícil mostrar que esta suma converge absoluta y uniformemente en el conjunto $U(\epsilon)=\Bbb{C}\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B(\lambda,\epsilon),$ donde $B(\lambda,\epsilon)$ es la bola de radio $\epsilon$ alrededor del punto de $\lambda$. Un ingrediente clave en la prueba de ello es que, cuando la agrupación de los términos de acuerdo a $\max\{|m|,|n|\}$ obtenemos una serie majorized por $\sum_k 1/k^2$.

En consecuencia, nos permite reorganizar la (countably infinitamente muchos de los términos de la serie de $f_\Lambda(z)$ como mejor nos parezca.

Como el punto de $\omega_1+\lambda$ rangos de los aditivos de grupo $\Lambda$ mientras $\lambda$ no, el reordenamiento del teorema de, precisamente, nos dice que $$f_{\Lambda}(z+\omega_1)=f(z)$$ for all $z\U(\epsilon)$. Repeating the same argument shows that $\omega_2$ es también un período.

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Se sigue de resultados estándar (de Weierstrass M-test y similares) que la función de $f_\Lambda(z)$ es entonces holomorphic en $\Bbb{C}\setminus\Lambda$, y tiene una triple poste en todos los puntos de la rejilla $\Lambda$. El famoso Weierstrass $\wp$-función puede ser construido a partir de aquí. Esencialmente, la función $f_\Lambda(z)$ es el derivado $\wp_{\Lambda}'(z)$. Estos doblemente funciones periódicas ser útil cuando se trabaja en la (compleja) curvas elípticas y tal. Recomiendo el primer capítulo de Apostol Modular de las Funciones y de la Serie de Dirichlet para más información sobre los detalles, y los libros dedicados a las curvas elípticas para más.