Dadas $\tan\alpha=2$, evaluar $\frac{\sin^{3}\alpha - 2\cos^{3}\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha +2\cos\alpha}$

Question

Necesito ayuda con este ejercicio.

Teniendo en cuenta que <span class="math-container">%#% $ de #%</span> calcular el valor de: <span class="math-container">%#% $ #%</span>

He intentado todo pero siempre termino algo irreductible al final. Tal vez esta es una pregunta fácil, pero soy nuevo en trigonometría. Si alguien me puede ayudar proporcionando una solución paso a paso, estaría muy agradecido! :)

Answer 1

Nota <span class="math-container">$\boxed{\sin \alpha = 2\cos \alpha}$</span> y <span class="math-container">$$\cos ^2\alpha = {1\over 1+\tan^2\alpha} ={1\over 5}$ $</span> tenemos <span class="math-container">$$\frac{\sin^{3}\alpha - 2\cos^{3}\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha +2\cos\alpha}=\frac{8\cos^{3}\alpha - 2\cos^{3}\alpha + 3\cos\alpha}{6\cos\alpha +2\cos\alpha}$ $</span>

<span class="math-container">$$= \frac{6\cos^{3}\alpha + 3\cos\alpha}{8\cos\alpha} = \frac{6\cos^{2}\alpha + 3}{8} = {21\over 40}$$</span>

Answer 2

<span class="math-container">$$\frac{\sin^{3}\alpha - 2\cos^{3}\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha +2\cos\alpha}=\frac{\tan^{3}\alpha - 2+ 3\sec^2\alpha}{(3\tan\alpha +2)\sec^2\alpha}$$</span>

donde <span class="math-container">$$\sec^2\alpha=\tan^2\alpha+1.$ $</span>

Por lo tanto, <span class="math-container">$$\frac{21}{40}.$ $</span>

Answer 3

<span class="math-container">$$\frac{\sin^{3}\alpha - 2\cos^{3}\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha +2\cos\alpha} = \frac{\sin^{3}\alpha - 2\cos^{3}\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha +2\cos\alpha} \cdot\frac{1/\cos^3\alpha}{1/\cos^3\alpha} = \frac{\tan^3\alpha-2+3\cdot(1/\cos^2\alpha)}{(3\tan\alpha+2)\cdot(1/\cos^2\alpha)}$$</span> Ahora, recordemos que <span class="math-container">$\frac{1}{\cos^2\alpha}=\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha=5$</span>, por lo tanto,

<span class="math-container">$$\frac{\sin^{3}\alpha - 2\cos^{3}\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha +2\cos\alpha} = \frac{\tan^3\alpha-2+3\cdot(1/\cos^2\alpha)}{(3\tan\alpha+2)\cdot(1/\cos^2\alpha)} = \frac{8-2+15}{(6+2)5}=\frac{21}{40}$$</span>

Answer 4

Tenga en cuenta que

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Por lo tanto si

$$\tan \alpha = 2$$

entonces

$$\sin \alpha = 2 \cos \alpha$$

Ahora solo enchufe para el seno

$$\frac{\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha + 3 \cos \alpha}{3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha} = \frac{8 \cos^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha + 3 \cos \alpha}{6 \cos \alpha + 2 \cos \alpha}$$

que luego se simplifica a

$$\frac{6 \cos^3 \alpha + 3 \cos \alpha}{8 \cos \alpha} = \frac{1}{8} [6 \cos^2 \alpha + 3]$$

Ahora tenga en cuenta que

$$\frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha$$

y tenemos la identidad trigonométrica

$$1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$$

así $$\sec^2 \alpha = 1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$$ and thus $\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$. Por lo tanto, podemos tapón que en la anterior expresión para obtener

$$\frac{\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha + 3 \cos \alpha}{3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha} = \frac{1}{8} [6 \cos^2 \alpha + 3] = \frac{1}{8} [6 \frac{1}{5} + 3] = \frac{21}{40}$$.

Answer 5

Sé que hay varias buenas respuestas ya, pero me gustaría mostrar un método útil que las obras en general.

Empezar con la ecuación $\tan(a) = 2$. Puede ser reorganizado (ver al final) a $a = \arctan(2)$. El gran fracción es $$\frac{\sin^3(a)-2\cos^3(a)+3\cos(a)}{3\sin(a)+2\cos(a)}$$ If the angle $un$ is substituted into all the sines and cosines, there will be two common expresions, $\sin(\arctan(2))$ and $\cos(\arctan(2))$

Imagine un triángulo en el que se encuentra que es el ángulo del $\arctan(2)$. Eso significa que el opuesto es dos veces tan larga como la de al lado. Para nuestros propósitos, vamos el triángulo tiene un horizontales adyacentes de la pierna de 1, y una vertical de la pierna opuesta de 2. Con el fin de encontrar el seno o coseno de esto, la hipotenusa debe ser conocido. Por el teorema de pitágoras, la hipotenusa es $\sqrt5$. El seno del ángulo de este triángulo es el opuesto, 2, dividido por la hipotenusa, $\sqrt5$. $$\sin(\arctan(2)) = \frac{2}{\sqrt5}$$ El coseno de un ángulo en este triángulo es el adyacentes, 1, dividido por la hipotenusa. $$\cos(\arctan(2)) = \frac{1}{\sqrt5}$$ Todo lo que queda es para sustituir y simplificar. $$\frac{\frac{8}{5\sqrt5}-\frac{2}{5\sqrt5}+\frac{3}{\sqrt5}}{\frac{6}{\sqrt5}+\frac{2}{\sqrt5}}=\frac{\frac{8}{5}-\frac{2}{5}+3}{6+2}=\frac{21}{40}$$

Tenga cuidado con arco tangente. Funciones trigonométricas inversas tener infinitos valores, además de la calculadora da. Los ángulos que satisfacen $\tan(a)=2$ están separados por giros de 180°. Pero, el equivalente a los ángulos de seno y coseno están separados por 360°. Cuando 180° se agrega el ángulo en el seno y el coseno, que dan el negativo exacto. Me aseguré de que los negativos podría cancelar en su fracción antes de hacer esto; es de todos los impares poderes.