Estoy leyendo en el derivado de la aritmético en el momento y simplemente no entiendo por qué está bien definido. Para referencia, Ufnarovski trató de explicarla aquí en la página 2. Me gustaría entender que no indica explícitamente la inducción. ¡Gracias de antemano!
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Para ser sincero, cualquier idea es bien definidos, por lo tanto no hay contradicciones. Aquí, estamos muy de la definición de una función especial de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}\cup\{0\}$. Tanto tiempo como se define en todas las entradas, a continuación, estamos técnicamente hecho.
Hay una pequeña arruga que también queremos que esta función de satisfacer algunas de sus propiedades, pero que no es un problema real; una vez que tenga la función escrita debe comprobar que las propiedades de retención. En este caso, tenemos que verificar dos propiedades:
1) $p'=1$ para todos los números primos $p$
2) $(ab)'=a'b+ab'$ cualquier $a,b\in\mathbb{N}$
Que la propiedad 1 es verdadera es evidente a partir de la definición.
Que la propiedad 2 es cierto que es menos obvio, pero el papel que va ligado a través de los pequeños bits de matemáticas necesarios para demostrar que la regla de Leibniz sostiene.
Entonces, ¿qué hemos demostrado? Que la función de $(\cdot)':\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\cup\{0\}$ como se define satisface las dos propiedades que queríamos. ¿Qué es obviada muy a la ligera es el autor del comentario que el estado de esta función es la única manera en que podemos definir la noción de la aritmética de derivados que queremos. Pero este problema no tiene nada que ver con el hecho de que nuestro derivados está bien definido. La singularidad y estar bien definidos son dos ideas separadas.
Pero vamos a hablar acerca de la unicidad de todos modos, ya que es una parte de tu post. Suponga que tiene dos funciones $f$ e $g$ que se aritmética derivados. ¿Qué son los $f(1)$ e $g(1)$? Por el hecho de que $f$ e $g$ satisfacer la regla de Leibniz sabemos que $f(1)=g(1)=0$; el papel incluso muestra la derivación de este hecho. Dejemos que esto penetre; aritmética derivada debe enviar a$1$ a $0$. Ahora vamos a intentar hacer algunos (fuerte) de la inducción:
Suponga que para todos los números naturales $1\leq k\leq n$ hemos demostrado que $f(k)=g(k)$. ¿Qué podemos decir acerca de $n+1$? Si es primo, entonces por nuestra primera propiedad vemos que $f(n+1)=g(n+1)=1$. Si es compuesto, entonces se puede escribir como el producto de dos naturales $a$ e $b$, ambos de los cuales están a menos de $n$. Bien, ¿qué es $f(ab)$? Por la regla de Leibniz y por nuestra hipótesis inductiva, sabemos lo siguiente: $$f(n+1)=f(ab)=f(a)b+af(b)=g(a)b+ag(b)=g(ab)=g(n+1)$$
Por lo tanto es necesario que en el caso de que $f$ e $g$ son la misma función, y la aritmética derivada es único.
user30382
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48
La expresión de marcado (1) es un poco artificial, pero está bien definida, ya que el autor supone implícitamente que $n_i>0$ para todos los $i$ en la expresión de $n=\prod_{i=1}^kp_i^{n_i}$. Esto determina el $p_i$ e $n_i$ únicamente, porque (positivo) enteros tienen un único factorizations. Reescribir la expresión (1) como $$n'=n\sum_{i=1}^k\frac{n_i}{p_i}=\sum_{i=1}n_i\frac{n}{p_i},$$ muestra que $n'$ es un número entero, porque el $p_i$ brecha $n$ e las $n_i$ son enteros, por definición.
Shabaz
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403
Única factorización prima y la regla de Leibniz son suficientes. Usted puede introducir el número de factores primos o en el número total de los factores. Como un ejemplo, suponga $n=p^3q^2r$ con $p,q,r$ prime. Usted puede expandir a $n=pppqqr$ y el uso de Leibniz para obtener $$n'=p'ppqqr+pp'pqqr+ppp'qqr+pppq'qr+pppqq'r+pppqqr'=3p^2q^2r+2p^3qr+p^3q^2$$
El punto es que cualquier intermedios de descomposición de $n$ puede ser descompuesto en el conjunto único de factores primos.
Si usted mira la fórmula de la media aritmética derivada en el artículo, sólo puede utilizar la fuerte inducción en $n$. Suponga $n=pq$, $p,q$ no se supone que para ser el primer. Si usted sabe que los derivados de la $p,q$ está dado por la fórmula debido a que son más pequeños que los $n$, puede mostrar la fórmula tiene por $n$.
billythekid
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156
Hice una búsqueda en Google de "aritmética derivados", y los dos primeros éxitos fueron a la wikipedia y OEIS.org/wiki. Claramente empezar por definir por los números primos y luego, al igual que para el cálculo de la derivada, la derivada se define para cualquier producto de factores por la regla de Leibniz. El hecho clave es que cada entero tiene una esencia única factorización en factores primos, junto con el hecho de que la multiplicación es asociativa y conmutativa. Si este no fuera el caso, entonces no hay ninguna razón para esperar que usted puede tener una buena definición de derivada. La existencia y unicidad de la derivada tiene que ser demostrado, pero la única factorización con la asociatividad y conmutatividad implica ambos de estos.
Usted puede ser que desee considerar una variación de la media aritmética de derivados donde $\, p'=1 \,$ para todos los números primos $\,p\,$ e $\, (ab)'=a'b+2ab'\, $ para todos racional $\,a,b.\,$ Lo que va mal aquí?
Tal vez un simple ejemplo de hacer las cosas más claras. Considere la posibilidad de un magma o groupoid que es un conjunto $A$ con una operación binaria $*$. La operación binaria no se supone que para ser asociativa ni conmutativa. Supongamos que el el magma contiene un subconjunto de los generadores $G$. Que significa que por cada elemento $x$ de $A$ existe un número finito de generador de elementos cuyo producto es igual a $x$. Tenga en cuenta que a menos que $A$ es de libre generado por $G$, a continuación, puede haber más de una manera de generar $x$. Ahora supongamos que desea definir un morfismos $f$ de $A$ a otro de magma $B$. Podemos elija definir $f$ en todos los generadores $G$. A continuación, se requiere el morfismos ecuación de $\,f(x*y) = f(x)*f(y)\,$ para todos los $x,y$ en $A$. Si $A$ es de libre generado por $G$, luego ya que cada elemento de a$x$ en $A$ tiene una única expresión como una palabra en $G$, a continuación, $f(x)$ es única determinado por la extensión de uso de la ecuación de morfismos. Esto está demostrado por inducción sobre la longitud de la palabra que expresa el $x$. Si $\,A\,$ es no libremente generada por $G$, entonces puede ser que el morfismos $\,f\,$ puede no estar bien definidos.
Aquí está una mínima contraejemplo. Deje $\,A = \{a,b\},\,$ con la operación binaria $\,x*y = x\,$ para todos los $\,x,y\,$ en $\,A.\,$ Deje $\,B = \{0,1\},\,$ con la operación binaria $\,0\cdot x=0\,$ y $\,1\cdot x=x\,$ para todos los $\,x\,$ en $\,B.\,$ Ningún elemento de $\,A\,$ es un generador de lo $\,G = A\,$ es un generador de $\,A\,$ , pero no gratis generadores desde $\,a*b=b.\,$. Ahora supongamos que $\,f(a)=0, f(b)=1.\,$Verificación que $\,f(a*b) = f(b) = 1\,$ pero $\, f(a)\cdot f(b) = 0\cdot 1 = 0.\,$Ahora $\, f(a*b) = 1 \,$ pero $\, f(a)*f(b) = 0.\,$ por lo Tanto $f$ no es una de morfismos.
