Prueba de que $\text{Diff}(M)$ es un Grupo topológico

Question

El conjunto de diffeomorphisms para un pacto colector $\operatorname{Diff}(M)$ forma un grupo. Hace poco estuve hablando con alguien que este es un grupo topológico, y se dio a la habitual inteligente a prueba mediante el pacto-abierto de la topología.

Pero luego nos dimos cuenta de que esto no puede ser el derecho de la topología para $\operatorname{Diff}(M)$, ya que no se menciona siquiera el de los derivados. Así que después de algo de investigación, nos topamos con una topología construido a partir de subbasis establece que parecen $$ N_\epsilon^r(f; K, U, V) = \{g\in\operatorname{Diff}(M)\mid g(K)\subset V\text{ and } \sum_{i=0}^r\lVert\tilde{f}^{(i)}-\tilde{g}^{(i)}\rVert_K<\epsilon\} $$ donde:

• $\epsilon>0$
• $r$ es un entero no negativo
• $(U,\phi)$ $(V,\psi)$ son gráficos en $M$, $K\subset U$ un subconjunto compacto, y $f(K)\subset V$
• $\widetilde{f}=\psi\circ f\circ\phi^{-1}$ y de manera similar para $\widetilde{g}$
• $\widetilde{f}^{(i)}$ $i$th derivado de la $\widetilde{f}$
• $\lVert\widetilde{f}^{(i)}-\widetilde{g}^{(i)}\rVert_K=\sup_{x\in \phi(K)}\lVert\widetilde{f}^{(i)}(x)-\widetilde{g}^{(i)}(x)\rVert$

Ahora estamos tratando de demostrar que la inversión y la composición son continuas en la topología generada por este subbasis. Después de mucho ensayo y error, con el tiempo se volvió para mirar en línea, y sólo se encuentra cualquiera de las fuentes que asumir que esto es trivial, o de otras que ir a través de varias capas de direccionamiento indirecto antes de llegar a ninguna parte.

Entonces, mi pregunta:

Hay una prueba directa de que la inversión y la composición en $\operatorname{Diff}(M)$ son continuos, en los topología?

Es bastante fácil ver la topología es más fino que el del compacto-abierta de la topología, y por tanto una prueba similar a la lista muestra que en el nivel de homeomorphisms, la inversión y la composición son continuas en esta topología. Lo que no sé cómo hacer es incluir restricciones en los derivados.

Answer 1

Ok, creo que he trabajado. La idea clave, por extraño que parezca, fue que $\operatorname{Diff}(M)$ es la primera contables. Que ayuda en gran medida, porque ahora en lugar de usar el "preimages de abrir los conjuntos son abiertos" de la definición de continuidad, puedo usar secuencias convergentes. Este simplificar las cosas lo suficiente para mí para entender lo que estaba pasando.

[Para ver que es de primera contables, es bastante fácil de cubrir $M$, con una contables base de precompact gráficos de $\{U_i\}$, y luego de comprobar que los conjuntos abiertos $$ N_{1/m}^r(f; \overline{U_i},U_j,U_k) $$ Forma una contables subbasis alrededor de $f$, donde todos los subíndices y superíndices son enteros positivos.]

Ahora si $f_n\xrightarrow{\operatorname{Diff}}f$, en términos de la topología descrita en la pregunta, esto significa que para cualquier tupla $(\epsilon, r, K, U, V)$, con la correspondiente $N$ tal que para $n\ge N$,

1. $f_n(K)\subset V$
2. $\lVert f_n^{(i)}-f^{(i)}\rVert_K<\epsilon$ $0\le i\le r$

Desde el compacto-abierta topología es más grueso que el de esta topología de la convergencia en el último implica la convergencia en el ex. Así que podemos deshacernos de (1) y en lugar de decir que $f_n\xrightarrow{\operatorname{Diff}}f$ es equivalente a

3. $f_n\xrightarrow{M}f$
4. $f_n^{(i)}\xrightarrow{K}f^{(i)}$ todos los $i$ y todas válidas $K$

[Estoy escribiendo $a\xrightarrow{L} b$ a la media de convergencia uniforme en el conjunto compacto $L$. Estoy escribiendo $a\xrightarrow{\operatorname{Diff}}b$ a la media de la convergencia en la topología en $\operatorname{Diff}(M)$.]

Por último, dado que ya sabemos de la inversión y la composición que se continua en el compacto-abierta topología, podemos centrarnos en (4).

Ahora para la inversión, supongamos $f_n\xrightarrow{\operatorname{Diff}}f$. A continuación, utilizando el hecho de que $f^{-1}\circ f(x)=x$ y aplicando la regla de la cadena en repetidas ocasiones, vemos que podemos escribir $$ f^{-(r)}\circ f(x)=c_r(f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), \ldots, f^{(r)}(x))$$

donde $c_r:\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^{r-1}\rightarrow\mathbb{R}$ es continua. Eligiendo $n$ lo suficientemente grande, se puede restringir el dominio de $c_r$ [esencialmente por (1) y/o (3)], y podemos deducir $c_r$ es uniformemente continua. Entonces (4), además de la ecuación anterior implica $$ f_n^{-(r)}\circ f_n\xrightarrow{K}f^{-(r)}\circ f$$

Finalmente, (3) implica también tenemos $$ f_n^{-(r)}\circ f_n\xrightarrow{K}f_n^{-(r)}\circ f$$ y el hecho de que $f$ es un diffeomorphism muestra que realmente tienen $$ f_n^{-(r)}\xrightarrow{K}f^{-(r)}$$ que es suficiente para que (4), y por lo tanto la inversión es continua.

Para la composición, de nuevo la regla de la cadena aplicado a $g\circ f$ da una ecuación como $$ (g\circ f)^{(r)}(x) = d_r(g^{(1)}\circ f(x), \ldots, g^{(r)}\circ f, f^{(1)}(x), \ldots, f^{(r)}(x))$$ donde podemos suponer $d_r$ es uniformemente continua.

Entonces (4) aplicado a $g$ muestra que hemos $$ (g_n\circ f)^{(r)}\xrightarrow{K}(g\circ f)^{(r)} $$ y (4) que se aplica a $f$ da $$ (g_n\circ f_n)^{(r)}\xrightarrow{K}(g\circ f)^{(r)} $$

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La visión real aquí es que el uso de la "convergente" secuencia de definición de continuidad realmente simplifica la notación y la presentación y, a continuación, en realidad es todo cae en la regla de la cadena.