¿Se puede representar cualquier función por trozos como una ecuación tradicional?

Question

En "Fundamentos de la Ingeniería Eléctrica" hemos aprendido acerca de las funciones definidas a trozos por la unidad de "paso" y "rampa", que están representados por $f(x)= \begin{cases}0, & \text{if }x< 0 \\ 1, & \text{if }x>0\end{cases}$ y $f(x)= \begin{cases}0, & \text{if }x< 0 \\ x, & \text{if }x\ge 0\end{cases}$ respectivamente. Yo estaba aburrido en litiásica de la clase y se determinó que estas funciones podrían ser representados en álgebra tradicional por $f(x)= \frac{|x|}{x} \cdot \frac12 + \frac12$$f(x)= \frac{x + |x|}2$, por Lo que esto me puso a pensar. Puede cualquier función definida a tramos ser representado como una ecuación tradicional? Sólo como un ejemplo, cómo esto: $$f(x)= \begin{cases} 5, & \text{if }x=0 \\ x^2, & \text{if }x<0 \\ \sqrt{x} & \text{if }x>0 \end{casos}$$

edit: Por el bien de la pregunta, sustituto $\sqrt{x^2}$ $|x|$

Answer 1

El paso crucial es venir para arriba con una manera aceptable para describir las funciones de los indicadores, es decir, para ciertos subconjuntos $S\subseteq \mathbb R$ a reemplazar la definición de funciones definidas a trozos $$1_S(x)=\begin{cases}1&\text{if }x\in S\\0&\text{if }x\notin S\end{cases} $$ con algo que no involucre a trozos, pero sólo "tradicional" de las definiciones. Siempre que tomando límites es permitido como "tradicional", debemos aceptar las funciones de $$\begin{align}\max\{x,y\} &=\frac{x+2}{2}+\left|\frac{x-y}{2}\right|\\ \min\{x,y\} &=x+y-\max\{x,y\}\\ 1_{[0,\infty)}(x)&=\lim_{n\to\infty}\min\{e^{nx},1\} \\ 1_{(-\infty,0]}(x)&=1_{[0,\infty)}(-x)\\ 1_{[a,b)}(x) &=1_{[0,\infty)}(x-a)-1_{[0,\infty)}(x-b)\\ 1_{[a,b]}(x) &=1_{[0,\infty)}(x-a)\cdot1_{[0,\infty)}(b-x)\\ 1_{\{a\}}(x) &=1_{[0,\infty)}(x-a)\cdot 1_{[0,\infty)}(a-x)\end{align}$$ y similares combinaciones arbitrarias de los intervalos de $\subseteq \mathbb R$. Con estos se puede obtener por ejemplo $$\begin{align}f(x)&= \begin{cases} 5, & \text{if }x=0 \\ x^2, & \text{if }x<0 \\ \sqrt{x} & \text{if }x>0 \end{casos}\\& = 1_{\{0\}}(x)\cdot 5+1_{(-\infty,0)}(x)\cdot x^2+1_{(0,\infty)}(x)\cdot\sqrt x.\end{align} $$ O, sólo para asegurarse, es posible que desee reemplazar $\sqrt {x}$ $\sqrt{1_{[0,\infty)}(x)\cdot x}$ (de lo contrario tendría un convenio que $0$ veces indefinido es $0$).