Experimentos de matemáticas alucinante

Question

Todos hemos oído hablar de algunos alucinante fenómeno característico de las ciencias, tales como la doble rendija experimento. Me preguntaba si hay similair experimentos o fenómenos que parecen tan contra-intuitivo, pero puede ser explicado a través de las matemáticas? Me refiero a cosas tales como los Monty Hall problema. Sé que no es exactamente un experimento o fenómeno (que se podría decir un experimento mental), pero las cosas a lo largo de la línea del este (así, con las conexiones de la vida real). Me han tropezado a través de esta interesante pregunta, y este es el tipo de fenómenos que tengo en mente. Esta pregunta, sin embargo, sólo se describe la geometría diferencial.

Answer 1

La parte superior de mi cabeza, no puedo pensar en dos sorprendentes fenómenos que se observaron experimentalmente antes de que se les explicó matemáticamente.

La primera es la ley de Benford. Este fue descubierto por un astrónomo en el siglo 19 que se dio cuenta de que la primera parte de su libro de tablas logarítmicas fue más usado de la parte posterior, lo que sugiere que los números con el primer dígito 1 o 2 aparecen con más frecuencia en la naturaleza de los números con el primer dígito 8 o 9. De hecho, la distribución de los primeros dígitos de la mayoría de los conjuntos de datos (incluidos los números levantado de los Tiempos de Nueva York!) tienden a obedecer una forma bastante consistente distribución logarítmica. Este patrón tiene una variedad de explicaciones diferentes en función del contexto - se sabe que suceder para que el poder de la ley de datos o los datos procedentes de una variedad de diferentes distribuciones, por ejemplo. Algunas de las explicaciones implican graves de las matemáticas, tales como la ergodic teorema.

La segunda es la constante de Feigenbaum. Comenzar con un simple parámetro de sistema dinámico, tales como $f(x) = ax(1-x)$. Decir que este es un sistema dinámico significa que vamos a escoger un valor de $x$ (entre $0$ y $1$), enchufe de $f$, conecte la salida de nuevo a $f$ de nuevo, y así sucesivamente. La pregunta es: ¿qué pasará como seguir iterando este procedimiento? La respuesta depende de la constante de $a$. Si usted comienza con $un$ entre $3$ y $1 + \sqrt{6}$, entonces obtendrá un atrayendo a $2$-ciclo, es decir el sistema rebota hacia atrás y adelante entre los dos puntos. Para un rango de valores ligeramente mayores a $1 + \sqrt{6}$, usted recibe un attracticing $4$-ciclo, lo que significa que el sistema oscila entre cuatro puntos. Como mantener deslizamiento $$ arriba, usted recibe $8$-ciclos, $16$-ciclos, $32$-ciclos... hasta que finalmente, para los valores de $a$ alrededor de 3.6 o superior, usted acaba de conseguir el caos. La pregunta es: ¿cuál es el periodo de duplicación de la tasa, es decir, la velocidad a la que puedes pasar de un $2^k$-ciclo a $2^{k+1}$-ciclo? El período duplica más rápido y más rápido, pero la relación es asintóticamente una constante: alrededor de 4.6692. La cosa loca es que puedes repetir este análisis para una variedad de similares sistemas dinámicos, tales como $f(x) = - x^2$, y se obtiene el mismo fenómeno: la aceleración de duplicación del periodo, seguido por el caos. Los rangos de $$ para que usted vea un ciclo variar de sistema a sistema, pero el período de duplicación de la tasa de $4.6692$ aparece una y otra vez. Feigenbaum descubierto experimentalmente y, a continuación, se demostró que se mantiene para cualquier parámetro de sistema dinámico de $f(x)$, con una sola cuadrática máximo.

Answer 2

Si dejas $a_1 a_2 = = un$ y $a_ {n+1} = $ 20a_n-19a_ {n-1} para $n = 2, 3, \dots$, entonces es obvio que sólo obtendrá la secuencia $un, a, a, $\dots. Pero si tratas de esto en una calculadora con, digamos, $a = $\pi, encontrará que después de algunas iteraciones comienza a recibir muy lejos desde $\pi$. Es una buen experimento y demostración en la acumulación del error de redondeo.

Answer 3

Hay la famosa Aguja de Buffon problema: si se le cae una aguja de longitud $un$ al azar sobre un piso de madera paralelos tiras de anchura igual a $l \gt$, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja se extienden a través de una línea que separa dos tiras? La respuesta implica $\pi$, y en realidad se puede utilizar este proceso para experimentalmente aproximado de $\pi$.

Uno que definitivamente me dejó alucinado cuando me enteré de que era Khinchin constante: si usted toma cualquier número real (excluyendo los racionales y algunos otros) y escriba su (único) la continuación de la fracción de expansión,

$$x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + ...}}} = [a_0;a_1,a_2,a_3,...]$$

y luego la forma de la media geométrica de los n primeros coeficientes,

$$\left(\,\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}$$

usted puede preguntar qué ocurre si usted hacerlo de nuevo con el más grande y de mayor tamaño n, es decir, en el límite de $n \rightarrow \infty$. La intuitiva conjetura es que esto depende de la $a_k$ (es decir, en la $x$ que has elegido.) Sorprendentemente, resulta que esto no es verdad: en el fondo, no importa lo que $x$ a elegir (es decir, casi siempre), esta infinita producto convergen en el mismo valor, que se llama Khinchin constante.

Más raro de todos, mientras que es muy fácil de comprobar esta numéricamente (escoja un número real al azar y empezar de computación), y aunque hay varias pruebas de que esto sucede casi siempre, no ha sido probado para cualquier caso particular: por ejemplo, $\pi, \gamma$ e incluso Khinchin constante del mismo, todos parecen tener esta propiedad, pero nadie tiene una prueba.

Answer 4

Aquí hay algunos ejemplos

1.El Smale de la paradoja de que de manera informal dice que es posible girar una esfera interior en un espacio tridimensional, con posibilidad de auto-intersecciones pero sin crear ningún pliegue. Smale de la Paradoja de

2.El Banach-Tarski paradoja, que dice que es posible romper un balón en piezas y crear dos bolas que son idénticas a la primera. De Banach Tarski Paradoja

3.La existencia de indecidible problemas es también muy contador intuitiva a mí,aunque la prueba es muy simple. Indecidible problemas

4.Borsuk–Ulam teorema que muy informalmente dice que en cualquier momento dado en la superficie de la tierra, existen 2 antipodal puntos con la misma temperatura y presión.

Answer 5

Uno de los experimentos, recuerdo que me sorprendió cuando lo vi por primera vez va como sigue:

1. Dibujar un triángulo y la etiqueta de las esquinas de 1, 2 y 3 también se marca un punto a mitad de camino a lo largo de un borde.

2. Elegir un número aleatorio de 1, 2 y 3 (a través de dados o de otra manera).

3. Marca un nuevo punto exactamente a mitad de camino entre el punto de la última drew y la esquina cuyo número se acaba de anunciar.

4. Volver al paso 2.

Si usted hace esto durante el tiempo suficiente de obtener algo parecido al de Sierpinski gasket! Resulta que la aleatoriedad es un poco de un arenque rojo, como la realización de esta mitad de la distancia procedimiento siempre te dará un punto en la junta. Por lo que le dará una imagen similar con no secuencias aleatorias siempre que la distribución es "bueno". Hay un montón de otras fresco Sierpinski demasiado!