Encuentra el número de soluciones de números naturales de$a+2b+c=100$

Question

Encuentra el número de soluciones de números naturales de$a+2b+c=100$

Recuerdo algo como estrellas y barras si la ecuación cambia a$a+b_{1}+b_{2}+c=100$

entonces consigo$\dbinom{99}{3}$ maneras.

Si la ecuación es como$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=m$, puedo usar$\dbinom{m-1}{3}$ maneras

sin embargo, no estoy familiarizado con la variación en el problema.

Busco un camino corto y sencillo.

He estudiado matemáticas hasta$12$ th grado. Gracias.

Answer 1

Yo asumo eso $a,b,c\ge 1$.

Puede usar el método que escriba para$$a+c=100-2b$ $ donde$b=1,2,\cdots,49$.

Entonces, la respuesta es$$\sum_{b=1}^{49}\binom{99-2b}{1}=99\times 49-2\cdot\frac{49\cdot 50}{2}=49(99-50)=49^2=\color{red}{2401}.$ $

Answer 2

Voy a suponer que por los números naturales que te refieres a los números enteros positivos (en oposición a los números enteros no negativos).

Observar que $a + c = 100 - 2b$ es un número par. Por lo tanto, $a$ $c$ debe tener la misma paridad.

Caso 1: Los números de $a$ $c$ son ambos inclusive. Deje $a = 2u$; deje $c = 2v$. A continuación,$u, v \in \mathbb{N}$. Por otra parte, \begin{align*} a + 2b + c & = 100\\ 2u + 2b + 2v & = 100\\ u + b + v & = 50 \tag{1} \end{align*} que es una ecuación con números enteros positivos. El número de soluciones de la ecuación 1 es el número de maneras en las que podemos colocar dos, además de los signos en el $49$ espacios entre consecutivos en una fila de $50$, que es $\binom{49}{2}$.

Caso 2: Los números de $a$ $c$ son ambos impares. Deje $a = 2s - 1$; deje $b = 2t - 1$. A continuación,$s, t \in \mathbb{N}$. Por otra parte, \begin{align*} a + 2b + c & = 100\\ 2s - 1 + 2b + 2t - 1 & = 100\\ 2s + 2b + 2t & = 102\\ s + b + t & = 51 \tag{2} \end{align*} que es una ecuación con números enteros positivos. El número de soluciones de la ecuación 2 es el número de maneras, además de dos signos puede ser colocado en el $50$ espacios que aparecen entre consecutivos en una fila de $51$, que es $\binom{50}{2}$.

Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación de $a + 2b + c = 100$ en los enteros positivos es $$\binom{49}{2} + \binom{50}{2} = 1176 + 1225 = 2401$$