Una pregunta sobre la escritura de pruebas y la notación del creador de conjuntos.

Question

Estoy probando que si$A , B\subset S$ entonces

$$A\subset B \Leftrightarrow A\cup B=B$ $$$A\subset B \Leftrightarrow A\cap B=A$ $

Voy de la siguiente manera:

Supongamos que es cierto que$A\subset B$. Esto implica que si$x\in A$ entonces también es cierto que$x \in B$, es decir

PS

Esto significa que, usando la notación del generador de conjuntos

PS

Ahora supongamos que$$\tag{1} x\in A\Rightarrow x \in B$ es verdadero. Esto significa que

PS

Pero entonces esto significa que si$$B=\{ x:x\in B\}=\{x:x\in B \vee x\in A\}=A\cup B$ también es cierto que$A\cup B=B$, lo que significa que$$A\cup B=B=\{ x:x\in B\}=\{x:x\in B \vee x\in A\}$.

(La prueba ahora ha sido corregida.)

Answer 1

Lo que tenemos ahora es básicamente correcto, pero creo que de forma un poco diferente de argumento, que voy a ilustrar con el segundo de equivalencia, es un poco más fácil de seguir.

Supongamos primero que $A\subseteq B$. Si $x\in A\cap B$,$x\in A$$x\in B$, así que sin duda $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap B\subseteq A$. Por otro lado, si $x\in A$, luego por hipótesis de $x\in B$, así que $x\in A$$x\in B$, y por eso $x\in A\cap B$. Esto demuestra que $A\subseteq A\cap B$. Juntando las piezas, podemos ver que $A\cap B=A$.

Ahora supongamos que $A\cap B=A$. Si $x\in A$,$x\in A\cap B$, lo $x\in B$, y se sigue inmediatamente que $A\subseteq B$.

Llegamos a la conclusión de que $A\subseteq B$ fib $A\cap B=A$.