Encontrar todas las funciones: tales que:

Question

Encontrar funciones $f:\mathbb{R}\to[0,1]$ que satisfacer: $$\lim{x \to +\infty} \frac{f(x)^2}{f(2 x)}=1,$$ $$f'(x)\leq 0 \, \forall x,$ $ y $ $$\lim{x \to +\infty} f(x)=0.$ $ $$\lim_{x \to -\infty} f(x)=1.$ he intentado encontrar sin éxito.

Answer 1

Un ejemplo es $$f(x)=e^{-x-\sqrt{x^2+1}}$$

¿CÓMO PUEDO ENCONTRAR ESTO?

1. El primer requisito es satisfecho por funciones como $e^{\alpha x}$, así que pensé que de cara a una posible logaritmo de $f$ habría sido una buena idea. Así que tenemos que $\log f$ tiene un negativo de la asíntota en $+ \infty$

2. La cuarta de las condiciones de decir que el $\log f$ debe tener una asíntota horizontal en $- \infty$, tendiendo a $0$

3. Por lo tanto, creo que una hipérbola. Tal hipérbola es, por ejemplo, $$y(y+2x)-1=0$$, which gives you $$y=-x-\sqrt{x^2+1}$$ for $y > 0$.

EDIT: acabo de encontrar otra más simple: $$f(x) = \frac{1}{e^x+1}$$

Answer 2

Basado en las construcciones anteriores podemos ver que cualquier función de la forma $$\frac{1}{a^{cx}+1}$ $ $a>0$ y $c \in \mathbb{R}$ trabajo. Parece que desea que algún tipo de generalización de una sigmoide función (sólo una suposición). Tal vez funciones de Gompertz podrían ser una buena cosa para mirar.

Answer 3

Todas las funciones $$f_a(x) = \frac{1}{2}\left(1-\tanh(ax)\right), a> 0$ $ resolver sus requisitos. $a$ Es sólo un reescalado, necesitamos sólo mostramos esto $a=1$. Que $f(x) = f_a(x) = f_1(x)$. El derivado es $f'(x) = \frac{1}{2}\left(\tanh(x)^2 - 1\right) \le 0$ y $$\frac{f(x)^2}{f(2x)} = \frac {1} {2} \frac {2\cosh (x) ^ 2-1} {\cosh (x) ^ 2} = 1-\frac{1}{2\cosh (x) ^ 2}

Answer 4

¿Qué le parece esto?