Diferencia entre las series de Laurent y Taylor.

Question

Nunca he hecho análisis complejos, pero me estoy preparando para un GRE para este fin de semana y estoy tratando de aprender un poco sobre la Serie Laurent.

Hasta ahora lo que entiendo es que las Series Laurent son de forma $$ \Sigma_ {i=1}^ \infty {a_{-i}(z-z_0)^{-i}} + \Sigma_ {j=1}^ \infty {a_j(z-z_0)^i}$$

donde $a_i$ son los usuales coeficientes de Taylor y $a_{-j}$ está dada por $${1 \over {2 \pi i}} \int_c {f(z)dz \over {(z-z_0)^{-j+1}}}$$ .

No tengo ni idea de cómo funciona esto, pero vi que en la práctica, sólo manipulamos la Serie Taylor para conseguir la Serie Laurent de alguna manera.

Por ejemplo, la expansión de Taylor de $1 \over 1-z$ es $1+z+z^2+...$ para $|z|<1$ .

Así que esto es lo que realmente me gustaría entender. Supuestamente para "evitar" la singularidad en Z = 1, ahora $1 \over 1-z$ debe ampliarse en una serie de Laurent en la región $1<|z|<+ \infty $ . Para ello la serie será manipulada como tal $${1 \over 1-z} = {1 \over {z({1 \over z}-1})} = {-1 \over z } ・{1 \over {1-{1 \over z}}} $$

Desde $1<|z|$ , $|1/z|<1$ así que la expansión de Taylor nos da $${-{1 \over z}}-({1 \over z})^2- ・・・$$ para $1<|z|$ .

Sólo tengo un par de problemas de ejemplo en el libro de práctica del GRE, y no los entendí todos. Reconozco que no estoy recibiendo la motivación de cuando usar la Serie Taylor y cuando la Laurent.

También me gustaría afirmar que, dado que ambos representan $1 \over {1-z}$ ¿por qué se ven diferentes y cómo son diferentes?

Mi libro tampoco generalizó cómo manipular la serie de Taylor para convertirla en una serie de Laurent, así que ¿puede alguien guiarme a dónde podría aprender esto un poco más con ejemplos concretos y detalles o explicarme esto?

Sé que estoy pidiendo mucho, pero las matemáticas significan la vida para mí y quiero hacerlo lo mejor posible en el GRE.

Answer 1

Bueno la serie de taylor solo funciona cuando tu función es holomorfa, la serie de laurent funciona aún para singularidades aisladas.

Ambas representan la función, pero la única que converge cuando $|z|>1$ y la otra sólo converge cuando $|z|<1$ .

Cuando $f$ es holomorfa la serie de taylor y la serie de laurent son la misma, y con el teorema de Cauchy se puede ver eso. Si quieres ser lo mejor posible tienes que calcular esas cosas por tu cuenta, así es como se aprende más.

Si quieres algunos ejercicios ven al chat, o busca en google, y si no puedes resolverlos haz una nueva pregunta.