Si$Q$ es inyectivo, entonces$\text{Hom}_{\mathbb Z}(R, Q)$ es inyectivo.

Question

Me gustaría una pista para el siguiente ejercicio:

Supongamos que$Q$ es un módulo inyectivo$\mathbb Z$ derecho. Deje que$R$ sea un anillo. Recuerde que$\text{Hom}_{\mathbb Z}(R, Q)$ tiene una estructura de módulo a la derecha de$R$ dada por$(fr)(x)=f(rx)$. Muestre que$\text{Hom}_{\mathbb Z}(R, Q)$ es un módulo inyectivo$R$ -.

Intenté usar el criterio de Baer pero no funcionó.

Answer 1

Vamos a utilizar el criterio 3 de https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_moduley voy a utilizar todas la notación de un artículo de wikipedia. Así que vamos a $f: X \to Y$ ser un inyectiva $\mathbb{Z}$ módulo homomorphism, y $g: X \to Hom(R,Q)$ a un arbitrario homomorphism. Denotar $g(x)=\phi_x$, con lo que obtenemos un mapa de $\tilde{g}: X \to Q$$x \to \phi_x(1)$. Así que tenemos una $\tilde{h}: Y \to Q$. A continuación, $h(y)=\phi_y \in Hom(R,Q)$ puede ser definido como:$\phi_y(r)=\tilde{h}(ry)$. A continuación, $h(f(x))(r)= \tilde{h}(f(x)(r))= \tilde{g}(xr)$ por la inyectividad de $Q$. Por el criterio 3 en el artículo de la wikipedia, esto es meramente $g(xr)(1)$.