Como sugiere el título, estoy tratando de probar que $\mathbb{Z}[\omega + \omega^{-1}]$ es un PID para $\omega = e^{2\pi i /13}$. Si definimos $R := \mathbb{Z}[\omega + \omega^{-1}]$,$\text{disc}(R) = 13^5$, por lo que el Minkowski obligado es $$ \frac{6!}{6^6}\sqrt{13^5} \approx 9.4.$$
Por lo tanto, sólo necesitan ver cómo se $2,3,5$ $7$ split. También sabemos que $f_2 := f(P|2)$ es el orden de $2$$(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times$, con lo que conseguimos $f_2 = 6,~f_3 = 3,~f_5 = 2, f_7 = 6$, lo $2$ $7$ son inertes, sino $(3)$ $(5)$ dividido en varios de los números primos. Por lo tanto tenemos \begin{align} (3) &= \frak{p}_3\frak{p}_3'\\ (5) &= \frak{p}_5\frak{p}_5'\frak{p}_5''. \end{align}
La pregunta entonces es, ¿cómo podemos demostrar que estos números primos son los principales? Supongo que es el caso que nos podríamos encontrar el polinomio mínimo de a $\omega + \omega^{-1}$ a través de WolframAlpha, el factor es $\mod 3$ $\mod 5$ encontrar los ideales y demostrar que son principales, uno por uno, pero se siente como que tiene que ser una solución inteligente.
Cualquier ayuda es muy apreciada.
