He estado intentando comprender la noción de transporte paralelo y derivada covariante.
Soy incapaz de ver por qué el cambio en un vector cuando es transportado paralelamente de un punto a otro no debería ser un vector. Si lo es, ¿por qué la conexión Levi-Cevita no es un tensor?
De ahí que mis preguntas sean :
¿Qué es una conexión geométrica? ¿Qué es geométricamente el transporte paralelo en un sistema de coordenadas determinado?
En general, el vectores base ( $\vec{e}_{i}$ ) no son constantes, por ejemplo, en coordenadas polares el vector radial no apunta en la misma dirección (a diferencia de los vectores de base cartesiana $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ ).
Si se toma el vector base j-ésimo $\vec{e}_{j}$ y considerar su cambio si uno se mueve en la dirección definida por el vector i-ésimo, matemáticamente esto es $$\partial_{i}\vec{e}_{j} \,\, .$$
Dado que el resultado debe ser un vector (el vector modificado), la función nuevo vector puede expresarse como una combinación lineal del vector base... digamos $\xi^k \,\vec{e}_{k}$ para determinados valores de $\xi^k$ . Sin embargo, los valores de $\xi^k$ dependen de la elección de las *direcciones i-ésima y j-ésima.
Así, se suele expresar como $$\partial_{i}\vec{e}_{j} = \Gamma_{ij}{}^k\,\vec{e}_{k} \,\, .$$
La conexión codifica la información sobre cómo el cambio de base del vector.
Como he mencionado antes, las bases vectoriales cartesianas son constantes. Por lo tanto, cualquier derivada de cualquier Base vectorial cartesiana desaparecer... es decir, todos los posibles $\Gamma$ ¡¡¡son cero!!!
Para transportar un vector, hay que tener en cuenta cómo cambian las bases.
El concepto de transporte paralelo es transportar el vector de forma que no cambie con respecto al en movimiento base.
La conexión relaciona vectores en dos lugares diferentes, cada uno de los cuales tiene su propio conjunto de bases. Cuando cambias de base puedes hacer cambios diferentes en los dos puntos, y así el cambio en la conexión tiene que saber de deux diferentes transfomaciones. Si fuera un vector o un tensor sólo tendría que conocer la transformación de base en un punto. En consecuencia, la matriz de números que especifica la conexión no puede ser un tensor.
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Odio simplemente remitirte a otro sitio, pero es.wikipedia.org/wiki/Conexión_(matemáticas) ofrece un buen resumen y parece ser exacto.