Problema de "Valor medio".

Question

Ser diferenciables, que $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ % tomar $a<a algunos="" and="" are="" because="" but="" c="" can="" connected="" de="" demostrar="" don="" existe="" find="" first="" if="" in="" know="" konw="" les="" mean="" my="" pido="" que="" relation.="" required="" satisfie="" such="" tal="" that="" they="" though="" tries="" value="" we="" were="" with="">consejos.</a>

Answer 1

Después de restar una conveniente función lineal de $f$ suponemos $f(a')=f(b)=0$. Luego encontramos un $\xi\in\ ]a',b[\ $ $f'(\xi)=0$.

Asumir $f(a)\leq 0$. Entonces tenemos $$0\leq {f(b)-f(a)\over b-a}={\bigl|f(a)\bigr|\over b-a}\leq {\bigl|f(a)\bigr|\over a'-a}={f(a')-f(a)\over a'-a}=f'(\eta)$ $ $\eta\in\ ]a,a'[\ $ y por lo tanto $$f'(\xi)\leq{f(b)-f(a)\over b-a}\leq f'(\eta)\ .$ $ el teorema del valor intermedio para derivados luego garantiza un $c\in\ ]\eta,\xi[\ $ $${f(b)-f(a)\over b-a}=f'(c)\ .$ $ A similar argumento trabaja cuando $f(a)\geq0$ y semejantemente uno encuentra un $c'\in\ ]\xi,\eta'[\ $ $${f(b')-f(a')\over b'-a'}=f'(c')\ .$ $

Answer 2

Considere la función $$ g(x)=f(x)-{f(b)-f(a)\sobre b-a}(x-b). $$ Es fácil probar que $g(a)=g(b)$$g'( c)=0$. Por otra parte, si $\displaystyle{g(x_2)-g(x_1)\over x_2-x_1}=g'(\xi)$ , entonces también $\displaystyle{f(x_2)-f(x_1)\over x_2-x_1}=f'(\xi)$. Así que podemos probar el teorema para $g$ y el resultado se mantenga por $f$.

Se puede tomar como $c$ cualquier punto fijo de $g$$(a,b)$. Si podemos elegir $c\le a'$ $c<c'$ y hemos terminado. Si no, supongamos $g(a')>g(a)$ (en el caso de $g(a')<g(a)$ puede ser manejado en una manera similar, y en el caso de $g(a')=g(a)$ es fácil porque podemos optar $c\in(a,a')$) y tome $c$ como el máximo absoluto punto de $g$$(a,b)$. Luego tenemos a $g(a)<g(a')<g( c)$ y además existe $a'_1\in(c,b)$ tal que $g(a'_1)=g(a')$. Deje $r$ ser la línea en la $(x,y)$ plano que pasa a través de$(a',g(a'))$$(b',g(b'))$. Hay dos posibilidades:

1) si $g(b')<g(a')$, entonces la línea paralela a $r$ y pasando a través de $(c, g( c))$ corta a la gráfica de $g$ a un punto de $(b'', g(b''))$$b''>c$, y no existe $c'$ como se requiere en $(c,b'')$;

2) si $g(b')\ge g(a')$, entonces la línea paralela a $r$ y pasando a través de $(a'_1, g(a'_1))$ corta a la gráfica de $g$ a un punto de $(b'_1, g(b'_1))$$b'_1>a'_1>c$, y no existe $c'$ como se requiere en $(a'_1,b'_1)$.