Demostrando que $(\omega_n)^\omega=\omega_n$ que proporciona CH pero no GCH

Question

Este es un ejercicio de un libro de Kunen - TEORÍA DE CONJUNTOS, Introducción a las pruebas de independencia

Asumir CH pero no asumir GCH. Demuestre que $(\omega_n)^\omega=\omega_n$ para $1 \le n < \omega$ .

No tengo ni idea de un buen punto de partida...

Answer 1

SUGERENCIA: Utiliza la fórmula de Hausdorff que dice que $\aleph_{\alpha+1}^{\aleph_\beta}=\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}\cdot\aleph_{\alpha+1}$ . Y la inducción.

Answer 2

Recordemos que $\omega_1$ es un cardenal regular. Ahora, considere $(\omega_1)^\omega$ y que $A \in (\omega_1)^\omega$ . Definir el $sup(A) = \alpha$ tal que $\alpha$ es el ordinal más pequeño en el que cada $ \beta \in A$ , $ \beta < \alpha$ . Desde $cof(\omega_1) = \omega_1$ observamos que $\alpha$ debe ser siempre un ordinal contable. Partición $ (\omega_1)^\omega$ en clases de equivalencia donde $A$ ~ $B$ si $sup(A) = sup(B)$ . Denotemos la clase de equivalencia para algún ordinal $\alpha$ y $O_\alpha$ . Observe que $|O_\alpha| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1 $ para $\omega<\alpha <\omega_1$ (y $|O_\alpha| = \emptyset$ para cualquier $\alpha$ ).

Así, $(|\omega_1)^\omega| = |\bigcup_{\omega<\alpha<\omega_1} O_\alpha|$ . Pero el RHS es sólo el $\omega_1$ unión de conjuntos de tamaño $\omega_1$ (que tiene cardinalidad $\omega_1$ ).

Ahora puedes terminar el problema por inducción en $n$ .

Answer 3

Por CH, sabemos que $2^\omega = \omega_1$ . Así, ${\omega_1}^\omega = (2^\omega)^\omega = 2^{\omega\cdot\omega} = 2^\omega = \omega_1$ .

Supongamos ahora que ${\omega_n}^\omega = \omega_n$ . Porque $\omega_{n+1}$ es regular, cualquier mapa de $\omega$ a $\omega_{n+1}$ no puede ser cofinal. Por lo tanto, el conjunto de mapas de $\omega$ a $\omega_{n+1}$ es la unión del conjunto de mapas de $\omega$ a $\alpha$ donde la cardinalidad de $\alpha$ es $\omega_n$ . Por nuestra hipótesis inductiva, cada elemento de esta unión tiene un tamaño $\omega_n$ y hay $\omega_{n+1}$ miembros de esta unión, por lo que el conjunto de todos los mapas de $\omega$ a $\omega_{n+1}$ tiene un tamaño no superior a $\omega_{n+1}$ . Q.E.D.