Demostrando que$\,f$ es constante.

Question

Deje que$\,f:[a,b] \rightarrow \Bbb R $ sea continuo y$\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0$, siempre que$g:[a,b] \rightarrow \Bbb R $ sea continuo y$\int_a^b g(x)\,dx=0$.

Demuestre que$f$ es una función constante.

Probé un montón de cosas, incluido el teorema integral de punto medio (?), Pero fue en vano. Apreciaría una explicación de una solución porque realmente no veo a dónde ir con esta ...

Answer 1

Considere la posibilidad de $$ h(x)=f(x)-\frac{1}{b}\int_a^b f(t)\,dt. $$ Esto es suficiente para mostrar que $h\equiv 0$. A su vez, es suficiente para mostrar que $$ \int_a^b h(x)w(x)\,dx=0, \quad\text{para todos los $w:[a,b]\to\mathbb R$ continua}. $$ Tomar uno de esos $w$, y deje $\tilde w(x)=w(x)-\dfrac{1}{b-a}\int_a^b w(t)\,dt$. A continuación,$\int_a^b \tilde w(x)\,dx=0$, y por lo tanto sabemos que $$ 0=\int_a^b f(x)\tilde{w}(x)\,dx=\int_a^b f(x){w}(x)\,dx- \frac{1}{b}\left(\int_a^b w(x)\,dx\right)\int_a^b f(x)\,dx \\ =\int_a^b f(x){w}(x)\,dx- \frac{1}{b}\left(\int_a^b f(x)\,dx\right)\int_a^b w(x)\,dx \\ =\int_a^b h(x){w}(x)\,dx. $$
En particular, si $w=h$, entonces obtenemos que $\int_a^b h^2(x)\,dx=0$, y, por tanto,$h\equiv 0$.

Answer 2

Supongamos que$f$ no es constante.

Defina$g(x) = f(x)-\bar{f}$, donde$\bar{f}:= \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx$. Entonces $\int_a^b g = 0$.

Luego$$\int_a^b f(x)g(x)dx = \int_a^b f(x) \big(f(x)-\bar{f}\big) dx = \int_a^b \big(f(x)-\bar{f}\big)^2 dx >0$$ The reason that this last term is larger than zero, is that $ f$ is non-constant, so we can find at least one value $ x \ in [a, b]$ such that $ f (x) \ neq \ bar {f}$. By continuity, there exists some interval $ [c, d ] \ ni x$ such that $ f (y) \ neq \ bar {f}$ for $ y \ en [c, d]$, and thus $ (f (y) - \ bar {f}) ^ 2> 0$ for $ y \ en [c, d] $.

Por lo tanto, si$f$ no es constante, entonces podemos encontrar al menos un$g$ para el cual$\int_a^b g = 0$ y$\int_a^b fg >0$.

Answer 3

También puede considerar el espacio de Hilbert$H=L^2([a,b])$ para esto; establecer$$K=\left\{h\in H\Big{|}\int_a^bh(x)\,dx=0\right\},$$ then $ K$ is a subspace of $ H$, of codimension $ 1$. From density, we should have that $ \ left <f, h \ right> = 0$ for any $ h \ en K$, where $ \ left <\ cdot, \ cdot \ right>$ is the inner product in $ H$, therefore $ f \ in K ^ {\ perp}$. But, $ K ^ {\ perp}$ has dimension $ 1$, and constant functions are contained in it, therefore $ K ^ {\ perp}$ is the subspace of constant functions. This shows that $ f $ es una constante.