Set sin intervalos completos o vacíos

Question

Deje $m(\cdot)$ denotar la medida de Lebesgue.

¿Existe un $S\subset [0,1]$ tal que para todos los $a<b$ tendríamos $0<m([a,b]\cap S)<b-a$?

Creo que la respuesta es sí, y tengo un bruto construcción en mente.

En el primer paso, asignar $1/4$ "masa" a cada lado de la $1/2$ (esto le da $S_1$). A continuación, asignar de forma recursiva $1/8$ en masa a ambos lados de $1/4$ e de $3/4$ ( $S_2$ ). Continúe este proceso.

En la profundidad de $d$ de la recursividad, tenemos que para $a,b$ con el binario ampliaciones en la mayoría de las $d$ dígitos, $m([a,b]\cap S_d)=(b-a)/2$. A continuación, en el límite, cualquier intervalo de tiempo puede ser escrito como la contable, distinto de la unión de intervalos finitos binarios de expansión, por lo que (creo) $m([a,b]\cap S_d)=(b-a)/2$ tiene para todos los $0<a<b<1$.

Puedo describir la construcción un poco más formalmente:

Para cada $n$, considerar el conjunto de puntos con $n$ dígitos en su binario de expansión. Hay $2^{n-1}$ dichos puntos, ya que cada dígito es gratuito, con excepción de la última, que debe ser 1. Lugar de un intervalo de longitud de $2^{-n}$ centrada en cada uno de esos puntos. Deje $S_n$ ser la unión de los intervalos.

Esto nos daría $S_1=[1/4,3/4],S_2=[1/8,3/8]\cup [5/8,7/8],\cdots$

Answer 1

Es que no me queda claro cómo va a "tomar el límite" de su construcción y llegar a un conjunto de obras. Aquí es un suplente de la construcción que trabaja.

Vamos a utilizar repetidamente el hecho siguiente: para cualquier $c>0$ y un intervalo de $(a,b)$ existe $C\subset(a,b)$, que es cerrada, tiene vacío interior, y para que $0<m(C)<c$ (prueba: tome un adecuado grasa conjunto de Cantor).

Ahora enumerar los intervalos abiertos en $[0,1]$ con rational extremos como $(a_n,b_n)$. También, corregir algunos secuencia $(r_n)$ de los elementos de $(0,1)$ tal que $\prod_{n=0}^\infty (1-r_n)>0$. Elegimos una secuencia de cerrada, vacía el interior de los conjuntos de $C_n$ como sigue. Habiendo escogido $C_m$ todos los $n<m$, vamos a $d_m=m((a_n,b_n)\setminus\bigcup_{m<n} C_m)$ y deje $d=\min_{m\leq n} d_m$. Tenga en cuenta que $d_m>0$ por cada $m$, ya que el $\bigcup_{m<n} C_m$ es un conjunto cerrado con vacío interior. Ahora elija $C_n\subset(a_n,b_n)$ a ser un conjunto cerrado con vacío interior tal que $0<m(C_n)<r_nd$.

Yo ahora dicen que el conjunto $S=\bigcup_{n=0}^\infty C_n$ tiene la propiedad deseada. De hecho, cualquier intervalo de $[a,b]\subseteq[0,1]$ contiene algunos $(a_n,b_n)$, y, a continuación,$m(S\cap[a,b])\geq m(C_n\cap(a_n,b_n))>0$. Por otro lado, afirmo que la $S$ no puede tener plena medida en $(a_n,b_n)$. En primer lugar, $\bigcup_{m<n}C_m$ no tiene plena medida en $(a_n,b_n)$ ya que es cerrado y vacío interior. Ahora observe que cada nuevo set $C_m$ $m\geq n$ ocupa a la mayoría de la una $r_m$ fracción de la medida de $(a_n,b_n)$ que todavía no está cubierto por ninguna $C_k$. Desde $\prod_{m=n}^\infty (1-r_m)>0$, estos conjuntos no se puede agregar a la medida total de la $(a_n,b_n)$. Por lo tanto $m(S\cap(a_n,b_n))<b_n-a_n$ y de ello se sigue que $m(S\cap[a,b])<b-a$.