Encontrar el orden de un elemento de grupo finito

Question

Que $G$ ser un grupo finito y $g,h\in G-{1}$ tal que $g^{-1}hg=h^2$.

En adición $o(g)=5$ y $o(h)$ es un entero impar. Encontrar $o(h)$.

Sé de un anterior ejercicio que si existe un número natural $i$ tal que $g^{-1}hg=h^i$el % entonces para todos los $n\in \mathbb{N}$, $g^{-n}hg^n=h^{i^n}$ %.

Pensé que podría utilizar este hecho de alguna manera, pero hasta ahora sin suerte.

Por favor, me das un toque.

Answer 1

Plaza de los dos lados $$ g^{-1}h^2 g = h^4 $$ Ahora reemplace $h^2$ $$ g^{-1}(g^{-1} h g) g = g^{-2} h g^2 = h^4 $$ De nuevo la plaza y ampliar $$ g^{-3}hg^3 = g^{-2}h^2g^2 = h^8. $$ Repitiendo este proceso nos encontramos con $$ g^{-k} h g^k = h^{2^k} $$ para $k>0$ así, en particular, $$ h = g^{-5}hg^5 = h^{32}. $$ Por lo tanto $h^{31} = 1$. Por lo tanto $O(h)$ divide $31$. Pero $31$ es primo, por lo $O(h) = 1$ o $O(h) = 31$. Desde que asumió $h \neq 1$, nos encontramos con $O(h) = 31$.

Tenga en cuenta que la información proporcionada $O(h)$ es un entero impar era innecesario de la asunción. Podríamos ver inmediatamente esto al señalar que el orden de las $h$ y cualquier conjugado, por ejemplo,$g^{-1}h g = h^2$, son los mismos. Por lo tanto $h,h^2$ tienen el mismo orden, por lo $2$ no es un divisor de a $O(h)$.

Answer 2

tratar de terminar esta línea de argumento... $$\begin{align} h &= ehe \&= g^{-5}hg^5 \&= g^{-4} (g^{-1}h g) g^4 \&= g^{-4}h^2 g^4 \&=g^{-3}(g^{-1}h^2g)g^3 \&=g^{-3}h^4g^3 \&= \dots \&=h^? \end {Alinee el} $$ % que $h^{?-1}=e$

Answer 3

$h=g^{-5}hg^5=g^{-4}h^2g=g^{-3}h^4g^3=g^{-2}h^8g^2=g^{-1}h^{16}g=g^{32}$.

Así $g^{31}=e$. Ya que $31$ es primer el orden es $31$.

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He utilizado $g^{-1}h^n g=(g^{-1}h g)^n$ que es simple, es demostrado cuando probamos el conjugado del producto es producto de conjugados, que es cuando mostramos conjugando por un elemento es un isomorfismo.

Answer 4

Por cuadratura de ambos lados, obtienes $g^{-1}h^2 g = h^4$. Esto significa a su vez $g^{-2}hg^{2} = h^4$, sustituyendo $h^2$ en el lado izquierdo. Usted puede seguir haciendo esto, hasta que finalmente consigue $g^{-5}hg^5 = h^{32}$. Entonces $h = h^{32}$. El orden de $h$ (a menos que he cometido algún error) es o $1$ o $31$, desde $31$ es primo. Y puesto que $1$ se descarta como señala en un comentario, deja a $31$ como la respuesta posible.