Axioma de Elección: ¿alguien Puede explicar la falacia de este razonamiento?

Question

No es una "teoría de conjuntos" gurú (disculpas si mis términos son imprecisos), pero he escuchado que es elemental, con la consecuencia de que el conjunto de los números racionales tiene una medida de cero intuitivamente lo que significa que el conjunto de los racionales es "menos denso que el conjunto de los números reales (o, equivalentemente, que el conjunto de los números irracionales).

Sin embargo, he leído este artículo que parece proporcionar un lugar simple prueba que demuestre que los racionales tienen una cardinalidad al menos tan grande como la irrationals, que estaría en contradicción con el párrafo anterior. De modo que al menos uno de los resultados debe estar mal? Sin embargo no puedo encontrar la falacia en el razonamiento en el artículo, el autor pone la culpa en el axioma de elección (bit de un chivo expiatorio de la teoría de conjuntos creo).

Alguna idea? o es el argumento de la autora de sonido?

Answer 1

El argumento de la autora es, por supuesto, no es sólida.

Su principal argumento se desarrolla como sigue: supongamos $(\mathbb{X},\preceq)$ ser un bien de pedidos de los positivos números irracionales.

Luego de los intentos de construir, a través de la inducción transfinita, una incrustación de $\mathbb{X}$ a un subconjunto de a $\mathbb{Q}\cap[0,\infty)$ como sigue: vaya a $\zeta\in\mathbb{X}$.

• Suponiendo que todos los elementos $\xi\prec \zeta$ han sido asignadas en $\mathbb{Q}$ existe $q\in\mathbb{Q}$ tal que cualquiera de las $q=0$ o $q$ es la imagen de algunos de los $\xi\prec\zeta$. Deje $q'$ cualquier ser racional tal que $q\lt q'\lt \xi$, e $q\neq 0$ $q$ no es la imagen de cualquier $\xi\in\mathbb{X}$$\xi\prec \zeta$. Definir la imagen de $\zeta$$q'$.

Él dice que el $q'$ siempre va a existir ", porque siempre hay un racional entre cualesquiera dos números reales". Pero esta afirmación está vacía: la existencia de un racional no implica la existencia de un ser racional que aún no ha sido elegido. El autor nunca realmente establece la existencia de una $q'$.

Añadido. Tenga en cuenta también que el primer párrafo no es muy acertada. Mientras (Lebesgue), la medida es muy débilmente conectado a la cardinalidad (en la que cualquier conjunto que es contable debe tener la medida de Lebesgue $0$), la conexión no es muy buena. El conjunto de Cantor tiene una medida de $0$, pero tiene la misma cardinalidad como toda la recta real; y el conjunto de Cantor tiene vacío interior, por lo que es muy de "no densa".

Answer 2

Este es un trabajo de alguien que claramente no entiende la idea detrás del axioma de elección y la aritmética ordinal.

Para abordar el problema menor de su primer párrafo, el racional tiene medida cero, porque los únicos tienen medida cero, y la medida es countably aditivo, que es una unión de countably muchos conjuntos disjuntos es la suma de la medida.

Ahora, para abordar el "papel".

En primer lugar, él está muy equivocado en la parte donde dice que los cortes se caracteriza por sus puntos finales. ¿Cómo se puede caracterizar los números racionales menores que $\pi$? No tiene punto final. La cosa es que esas son subconjuntos, como el extracto de Levy, el texto dice. Y Cantor del teorema dice que $|P(X)|>X$ (un teorema cuya prueba no requiere ninguna opción en absoluto), por lo que hay muchos más subconjuntos (cortes) de los puntos finales, y posiblemente muchos de los que están no realizadas cortes/vacíos (es decir, los números irracionales).

Esto indica que es muy posible que haya muchos más recortes de los puntos finales dentro de los pedidos.

Como para el bijection, el escritor tiene ninguna comprensión acerca de la idea de infinitary procesos. Considere lo siguiente:

Tomar una enumeración de $\mathbb{Q}=\{q_n\mid n\in\omega\}$. Ahora tome una enumeración de los irrationals tal que la primera de las $\omega$ muchas son las de la forma $\{q_n+\pi\mid n\in\omega\}$ y, a continuación, enumerar el resto de la irrationals como usted desea. El bijection se describe en el artículo de escape exactamente después de la $\omega$ pasos mientras usted todavía tiene al menos $2^{\aleph_0}$ muchos pasos con el irrationals.

Con el fin de trabajar con infinita bien de conjuntos ordenados uno tiene que decir lo que sucede en el límite de puntos, es decir, los pasos que no tiene precedentes, este no es manejado en la construcción y solo dice "continuar hasta que $\mathbb X$ está agotado".

Esto es similar a lo que prueba que cada número ordinal es finito:

Empezar con $0$, finito. A continuación, supongamos $n$ es finito, por tanto, $n+1$ es finito. Continuar hasta que se agota la clase de los números ordinales. Por lo tanto, todos los ordinales finitos.

Esto es incorrecto, porque al final nos escape de los números naturales y nos encontramos en el reino de los infinitos números ordinales, ya que no especifica lo que va a suceder en el límite de las etapas, esta inducción puede (y será) fallo en el primer punto límite - $\omega$.

Answer 3

¿Nunca habéis visto una simple prueba de que la cardinalidad de los racionales es menor que la de la irrationals? Es fácil detectar este tipo de pruebas en los textos o en la web, que son bastante satisfactorios en todos los sentidos. No hay necesidad de leer el artículo al que usted se refiere. Debe ser malo, y es el autor del trabajo, no el tuyo o el mío, para saber dónde está el error.