Encontrar una segunda solución linealmente independiente a una ecuación diferencial

Question

Considere la ecuación diferencial$x''-(2t/1-t^2)x'+(2/1-t^2)x=0$ para$t$ en$(-1,1)$.

Muestre que$x(t)=t$ es una solución y encuentre una segunda solución linealmente independiente$y(t)$.

Así que entiendo cómo resolver la ecuación y que$t$ es una solución, pero ¿cómo encuentro otra solución linealmente independiente?

Cualquier ayuda o sugerencia muy apreciada. Soy nuevo aquí, lo siento si he hecho algo mal!

Answer 1

Hay un método para hacer esto, llamado reducción de orden . He enlazado con el artículo de Wikipedia, que debería comenzar.

Answer 2

En primer lugar, la ecuación supongo que en la forma de: $$x^{''}-{{2t}\over{1−t^2}}x^{'} +{{2}\over{1−t^2}}x=0$$ Su primera solución es $x(t) = t$. Por lo $x^{'}(t) = 1$$x^{''}(t) = 0$. Sustituyendo en la parte izquierda de la ecuación obtenemos $0-{{2t}\over{1−t^2}}\cdot{1} +{{2}\over{1−t^2}}t = {{-2t+2t}\over{1-t^2}} = 0$ y esto es igual a la parte derecha de la ecuación, esto significa también {0}. Así que la solución x(t) = t es una solución de la ecuación.
La segunda solución de la ecuación asumimos en forma de $x(t) = e^{kt}$, donde k es el valor independiente de t. Por lo $x^{'}(t) = k{e^{kt}}$$x^{''}(t) = k^2{e^{kt}}$. Sustituyendo en la ecuación obtenemos: $k^2{e^{kt}}-{{2t}\over{1−t^2}}k{e^{kt}} +{{2}\over{1−t^2}}e^{kt}=0$. Necesitamos identificar {k} valor. Porque e^{kt} no es $0$ podemos modificar la forma de la ecuación de a $k^2-{{2t}\over{1−t^2}}k +{{2}\over{1−t^2}}=0$ y ahora tenemos para {k} de la ecuación cuadrática. La solución de esta ecuación de segundo grado obtenemos $k_{1,2} = {{t\pm\sqrt{3t^2-2}}\over{1-t^2}}$.
Así que ahora tenemos dos términos que satisfacen la ecuación: $$x(t)= {{t\pm\sqrt{3t^2-2}}\over{1-t^2}}$$(one with the $+$ sign in exponent a second with $-$ signo.
Si esta solución cumple con todos de nuevo por la inserción de:
${(t\pm\sqrt{3t^2-2})^2\over{{1-t^2}^2}}-{{2t}\over{1-t^2}}{{t\pm\sqrt{3t^2-2}}\over{1-t^2}}+{{2}\over{1-t^2}} = {{t^2\pm{2t\sqrt{3t^-2}}+3t^2-2-2t^2\mp{2t\sqrt{3t^-2}}+2-2t^2}\over{1-t^2}}={{0}\over{1-t^2}} = 0$. También es igual a la parte derecha de la ecuación. Por lo tanto la solución también cumple con la ecuación.
Incluyendo su solución tenemos tres posibles $x$: $$x(t) = t$$ $$x(t)= {{t+\sqrt{3t^2-2}}\over{1-t^2}}$$ $$x(t)= {{t-\sqrt{3t^2-2}}\over{1-t^2}}$$

Answer 3

Sugerencia: suponga que la segunda solución es$ x_2(t)= u(t)x_1(t) = tu(t)$ y vuelva a subirse a la oda para encontrar$u(t)$. Ver aqui