Sea $\gamma$ , $\rho\in\mathbb{Z[\omega]}$ sean irreducibles primarios diferentes (es decir $\gamma$ , $ \rho\equiv 2(3)$ ), donde $\omega=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Tengo que demostrar que $\chi_{\gamma}(\rho)=\chi_{\rho}(\gamma)$ donde $\chi_{\pi}(\alpha)$ es el carácter de residuo cúbico.
Sea $\lambda=1-\omega$ si $\gamma$ , $ \rho\equiv 2(3)$ entonces $\lambda$ no divide $\gamma$ y $ \rho$ . Si $N(\gamma)\neq N(\rho)$ entonces $\chi_{\gamma}(\rho)=\chi_{\rho}(\gamma)$ es una consecuencia de la ley de reciprocidad cúbica.
En estas condiciones, si $N(\gamma)= N(\rho)$ entonces $\overline{\gamma}=\rho$ . En el libro de Irlanda y Rosen se demuestra que $\overline{\chi_{\pi}(\alpha)}={\chi_{\overline{\pi}}(\overline{\alpha})}$ así que lo único que queda es demostrar que $\chi_{\gamma}(\rho)=1$ . Se supone que es una consecuencia fácil de las propiedades del carácter del residuo cúbico (según Kenneth S. Williams) pero no consigo demostrarlo.
Esta pregunta está implícita en el problema 20 del capítulo 9 de Ireland y Rosen. Se agradecerá cualquier ayuda. Si alguna de mis conjeturas es errónea, también se agradecería una corrección.
