Dominios ideales principales que no son dominios integrales

Question

En la definición habitual, un director ideal de dominio $R$ también se supone que es una integral de dominio? Sin embargo, la propiedad de que cada ideal es generado por un solo elemento no parece inmediatamente implica que el anillo es integral. Es esto correcto y si es así:

¿Existen los anillos, donde cada ideal es generado por un solo elemento y tiene divisores de cero? Estoy muy interesada en el caso de que $R$ es conmutativo con unidad, pero no la mente ejemplos en los que estas propiedades no se cumplen.

También, asumiendo que hay ejemplos, ¿hay alguna razón por la que hacemos esta suposición?

Answer 1

Sí. Estos anillos se llaman anillos ideal principal. Un ejemplo de tal un anillo sería $K[x]/(x^2)$, donde $K$ es cualquier campo.

De hecho, un teorema de Hungerford afirma que cualquier anillo ideal principal es producto directo de cocientes de dominios ideales principales.