Prueba de que la botella de Klein es homeomorfa a $T/S$ donde $T$ es el toro de revolución y $S$ es la relación de equivalencia dada por $(x, y, z) \sim (x', y', z')$ si y sólo si $(x, y, z) = \pm (x', y', z')$ . ¿Cómo debo hacerlo? Lo siento, soy nuevo en esto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Simon Rose
Puntos
4203
Dado que la relación de equivalencia es una reflexión a través del origen, se puede ver el cociente cortando el toro por la mitad a lo largo de un plano (digamos, $x = 0$ ), y pegando el límite adecuadamente. Dado que este medio toro es sólo un cilindro, deberías poder razonablemente o bien hacer un dibujo, o bien relacionar esto con la descripción habitual de la botella de Klein para el resto.
Norbert Fabritius
Puntos
224
Podría utilizar este lema: Supongamos que X es un espacio topológico, ∼ una relación de equivalencia sobre X, y Q = X/ ∼ el espacio cotizante (es decir, el conjunto de clases de equivalencia, con la topología del cociente). Supongamos que Y es un espacio y que f : X → Y es un mapa suryectivo continuo tal que las clases de equivalencia en X son precisamente los puntos-inversos bajo f; es decir, para cadax,y ∈ X,x∼y ⇐⇒ f(x)=f(y). Si X es compacto e Y es Hausdorff, entonces X/ ∼ es homeomorfo a Y . ¿Verdad?
0 votos
¿Cómo, más precisamente, es $T$ ¿se define? Algo así como el círculo $(x-2)^2+z^2=1$ en el $x,z$ plano giraba en torno a la $z$ ¿eje? ¿Y cuál de las muchas definiciones equivalentes de la botella de Klein te han dado? Hay muchas formas de hacerlo, pero la que se elija depende de esos detalles.
0 votos
T es el toro y la botella de Klein, para mí, es el espacio cociente descrito como el cuadrado [0,1] × [0,1] con lados identificados por las relaciones (0, y) ~ (1, y) para 0 y 1 y (x, 0) ~ (1 x, 1) para 0 x 1.
0 votos
Por favor, no te pases con la edición, @azimut, 3 o 4 al día, no 20 o 30 a la hora. Estás inundando la primera página con preguntas antiguas.