La finitud de la suma del producto de un yo.yo.d. secuencia

Question

Antes de ir a la afirmación de mi pregunta solo quiero decir un par de palabras acerca de el personal de fondo de esta cuestión. Recientemente he participado en un curso sobre ecuaciones diferenciales estocásticas sin exposición previa a los pilares de este tema, tales como medida de teoría de la probabilidad, análisis real y así sucesivamente. En contraste con mis expectativas al comienzo del curso, recibí uno de los grados más altos en una clase llena de matemáticas especializaciones en el nivel de posgrado. De una forma u otra tengo que decir gracias de corazón a saz y lo Hizo y este parece un lugar tan bueno como cualquier otro. No hay manera de que podría haber llegado tan lejos en este tema que sin su ayuda. Me pareció que tenía que ser reconocido de alguna manera. De todos modos, con el conocimiento y la confianza que tengo de este curso, me decidí a estudiar un riguroso tratamiento de series de tiempo por mi cuenta. Para mi sorpresa y también de la decepción a un cierto punto, esta empresa no es la vela smooth yo esperaba que fuera. Así que aquí está mi pregunta.

Deje $(Z_t)_{t \in \mathbb{Z}}$ ser un yo.yo.d secuencia con $E[\log(Z_t^2)] < 0 $ por cada $t \in \mathbb{Z}$. Mostrar que $$\sum_{j=0}^{\infty}Z_t^2Z_{t-1}^2\cdots Z_{t-j}^2 < \infty \quad \text{ almost surely}$$ También hay una sugerencia de que yo debería considerar la ley de los grandes números.

Mi intento anterior se basa en el teorema de convergencia monótona, que estaba equivocado con un contraejemplo dada por d.k.o. Así que he borrado ese intento.

Answer 1

Este problema quiere que usted use el (fuerte) de la ley de los grandes números (LLN) en los términos individuales. Retirada de la LLN y la definición de convergencia a un límite "con una probabilidad de 1" que: Si $\{W_i\}_{i=1}^{\infty}$ es una secuencia general de los me.yo.d. variables aleatorias y $E[W]$ es finito, entonces (con prob 1) para cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar un entero positivo $M_{\epsilon}$ tal forma que: $$ \left|E[W]-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n W_i\right| \leq \epsilon \: \: \: \: \forall n \geq M_{\epsilon} $$ Se puede aplicar esto a la $Z_t \cdots Z_{t-j}$ del producto. En este caso, $t$ nunca cambia, así se puede definir a $W_0=\log(Z_t^2), W_1=\log(Z_{t-1}^2), W_2=\log(Z_{t-2}^2)$, y así sucesivamente. Entonces usted puede arreglar lo suficientemente pequeño $\epsilon>0$ (pequeño cómo debería ser?) y calcular límites en: $$ term_j \equiv \prod_{i=0}^j Z_{t-i}^2 = e^{\frac{j+1}{j+1} \log\prod_{i=0}^jZ_{t-i}^2} = e^{(j+1)\left[\frac{1}{j+1}\sum_{i=0}^jW_i \right]}$$

A continuación, sostienen que $\sum_{j=0}^{\infty} term_j < \infty$ (con prob 1).