Mi conjetura sería que lo que está diciendo es cierto. Incluso, usted puede estar seguro de que para $\alpha =2$ el límite será finito.
He aquí mi razonamiento. Elija su punto O, y sus rayos. A continuación, para $r$ suficientemente grande, la esfera centrada en $O$ y de radio $r$ contiene todas las cargas puntuales (ya que no hay un número finito de ellos, deben estar en una región finita del espacio). Si usted quiere ser más explícito denotar por $R$ la distancia del punto más lejano a cargo de $O$, entonces usted puede recoger $r>R$.
Entonces, cuando $r\rightarrow \infty$, los detalles del punto de distribución de partículas en el interior de la esfera de $R$ a desaparecer. En otras palabras, cuando se mira desde lejos, su esfera de $R$ sólo se ve como un punto de partículas con carga total de la suma de las cargas de las partículas puntuales. Por lo tanto, el campo eléctrico producido por su distribución, al $r\rightarrow \infty$, debería ser $E\propto \frac{\sum q}{r^2}$. Por supuesto, si los cargos cancelar, se podría tener un poco más rápido la disminución de campo, pero es seguro que va a disminuir por lo menos tan rápido como $r^{-2}$.
Permítanme ser más específico. Considera el total del campo eléctrico producido en nuestra lejana punto p :
$$\vec{E(p)} \propto \sum_i \frac{q_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^2}\vec{e}_{i}$$
Donde $\vec{r}$ indica la posición de $p$, $\vec{r}_i$ las posiciones de los diferentes cargos, medido a partir de O, e $\vec{e}_i = \frac{\vec{r}-\vec{r}_i}{|r-r_i|}$.
Luego, utilizando la desigualdad de triángulo :
$$|E(p)|\leq \sum_i \frac{q_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^2}$$
Ahora podemos expandir usando el hecho de que $\vec{r}_i/r \rightarrow 0$, es decir, $r$ es realmente grande :
$$|E(p)|\leq \sum_i \frac{q_i}{r^2}(1+2\frac{\vec{r}\cdot\vec{r}_i}{r^2}+O(\left(\frac{r_i}{r}\right)^2))$$
Así que, finalmente, $$lim_{r\rightarrow \infty}|E(p)|r^2 \leq \lim_{r\rightarrow \infty}\sum_i\frac{q_i}{r^2}r^{2} = \sum_i{q_i}<\infty$$
Respecto a su comentario, como se puede ver de dos cargas de signo opuesto, el límite es 0, es decir, la norma de los campos magnéticos disminuye más rápidamente que $r^{-2}$ ($r^{-3}$, como se comentó).
Vamos a probar y ver si es posible determinar el exponente de $r$ que necesitamos con el fin de obtener un número finito distinto de cero constante. Primero de todo, debemos excluir el caso de que no los cargos, ya que claramente da 0.
Vamos a empezar a ampliar el campo eléctrico sin necesidad de utilizar el triángulo de la desigualdad, ya que queremos un límite exacto. Voy a utilizar $\vec{e}_r = \frac{\vec{r}}{r}$
$$\vec{E}(p) = \sum_i \frac{q_i}{|r-r_i|^3}(\vec{r}-\vec{r}_i) = \sum_i\frac{q_i}{r^2}(\vec{e}_r-\frac{\vec{r}_i}{r})(1+3\frac{\vec{e}_r\cdot\vec{r_i}}{r}+O(\frac{r_i^2}{r^2}))$$
Ahora, fíjate en la expansión por encima de que no importa la orden a la que nos empuje de la expansión, siempre es exponentes racionales que queremos añadir. Esto es simplemente debido al hecho de que $\frac{1}{1-q} = \sum_i^\infty q^i$. La expansión de la orden arbitrario va a ser, pues, una función que contiene sólo monomials de la forma $r^{-\alpha}$ donde $\alpha$ es un número entero. (Creo que es el multipolo de expansión de la gente se refiere, ha sido un largo tiempo para mí, así que no estoy muy seguro).
Ahora, cuando $r\rightarrow \infty$, nosotros sólo nos preocupamos de la orden más baja término de la expansión. Para ilustrar, en primer lugar, mirar en el primer término, $\frac{|\sum_i q_i|}{r^2}$. Si es distinto de cero, entonces a $\alpha = 2$ y hemos terminado. Si $|sum_i q_i| = 0$ (por ejemplo, el dipolo) , luego nos vamos a la siguiente orden, $r^{-3}$ y así sucesivamente.
Creo que esto no resultar en que usted no puede tener una no-entero exponente en $r$ para la expansión, por no hablar de un irracional.
Ahora, sin embargo, hay un último problema : ¿qué ocurre si la expansión es 0 para cualquier pedido ? Eso significaría que el campo eléctrico es exactamente 0 en el infinito. Intuitivamente diría que esto debería ser imposible de hacer con un número finito de cargos, ya que son esencialmente de la imposición de un número infinito de restricción, pero no he encontrado de todos modos para demostrar rigurosamente todavía.
En cualquier caso, no debe invalidar la afirmación de que los exponentes son enteros.
