Es este espacio Denso en $ C[0,1]$

Question

Es el espacio de $\{f\in C[0,1]\mid \int_0^1f\neq 0\}$ denso en $C[0,1]$ con sup-la topología de la norma.

Yo creo que sí, porque es la inversa de la imagen del conjunto $\mathbb{R} \setminus \{0\}$

Answer 1

Llamar a ese conjunto de $A$, vamos a probar que es un denso conjunto.

Pick $f\not \in A$, en otras palabras $f$ tal que $\int\limits_{0}^1 f=0$, y recoger $\epsilon >0$.

Observe que la función de $g(x)=f(x)+\epsilon/2$ $A$ y su distancia de $f$$\epsilon/2$, por lo que es en realidad densa.