¿Cómo podríamos demostrar que "La traza de una matriz idempotente es igual al rango de la matriz"?
Esta es otra propiedad que se usa en mi módulo sin ningún tipo de prueba, ¿alguien podría decirme cómo probar esta?
Lo siento por publicar la solución a esta pregunta tan antigua, pero "La traza de una matriz idempotente es igual al rango de la matriz" es un problema muy básico y todas las respuestas aquí están utilizando la solución usando valores propios. Pero hay otra manera que debería ser resaltada.
Solución:
Sea $A_{n\times n}$ una matriz idempotente. Utilizando Factorización de rango, podemos escribir $A=B_{n\times r}C_{r\times n}$ donde $B$ tiene rango de columna completo y $C$ tiene rango de fila completo, entonces $B$ tiene inversa izquierda y $C$ tiene inversa derecha.
Ahora, como $A^2=A$, tenemos $BCBC=BC$. Notemos que, $$BCBC=BC \Rightarrow CBC=C \Rightarrow CB=I_{r\times r}$$
Por lo tanto, $$\text{traza}(A)=\text{traza}(BC)=\text{traza}(CB)=\text{traza}(I_{r\times r})=r=\text{rango}(A)\space\space\space\blacksquare$$
@MANMAID Por favor explique un poco más por qué $CBC=C\Rightarrow CB=I_{r\times r}$ ? $C$ no es invertible.
Solo en caso de que no esté claro, la razón por la cual los autovalores son $0$ y $1$ es porque todos los autovalores son raíces del polinomio minimal, que es $x^2-x$. Debido a que el polinomio minimal no tiene raíces repetidas, es diagonalizable, y por lo tanto tiene una base de eigenvectores. Escribiendo el espacio vectorial como $V_0\oplus V_1$, la transformación es la proyección en $V_1$, y por lo tanto el rango es la dimensión de $V_1$.
Solo para constancia, no necesitas polinomios mínimos o vectores propios. Sea $A: V \to V$ idempotente, sea $V_0 = \mathrm{Ker}(A)$ y $V_1 = \mathrm{Im}(A)$. Si $u \in V_0 \cap V_1$ entonces $u = Au = 0$, así que $V_0 \cap V_1 = \{ 0 \}$. Para cualquier $v$, tenemos $v = Av + (v-Av)$, y $Av \in V_1$, $v-Av \in V_0$, entonces $V = V_0 + V_1$. Tenemos entonces $V = V_0 \oplus V_1$. (Probablemente no sea el enfoque correcto para la mayoría de los estudiantes, pero en este momento estoy enseñando una clase donde necesito este hecho y aún no hemos llegado a la forma canónica de Jordan.)
@DavidESpeyer Creo que tal vez sería útil volver a publicar (una versión ampliada de) tu comentario como una respuesta.
Vine a esta página por accidente pero solo quería señalar que la declaración anterior que
"la multiplicidad de uno como valor propio es precisamente el rango"no es trivial y no es cierto para matrices generales. Aún así, necesitas probar que la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométrica (en otras palabras, que el número de vectores propios linealmente independientes es igual a la multiplicidad de uno)
El hecho de que "como y = Px = P(Px) por lo tanto los miembros de una base ortogonal del rango de P también son vectores propios de P" es la pieza que falta. Debido a esto, podemos decir con confianza que el rango es al menos igual a la multiplicidad. Después de eso, necesitamos afirmar que ninguno de los vectores propios cuyo valor propio es cero podría contribuir al rango (aunque eso se podría omitir porque es trivial). @DavidSpeyer dijo cosas similares en su comentario.
En la misma oración en la que se hace esa afirmación, dejé claro que estaba hablando de matrices idempotentes. La confusión solo podría surgir si solo leyeras la mitad de lo que escribí.
@MarianoSuárez-Álvarez Un wumpus tiene dos clubes y la multiplicidad de un club es precisamente el rango. ¿Realmente queda claro que esta afirmación sobre la multiplicidad de un club solo se cumple cuando el club es empuñado por un wumpus?
Solo por completitud, agrego una prueba más explícita usando el hecho de que los valores propios de una matriz idempotente siempre son ceros y/o unos.
Si $A$ es idempotente, también es cuadrada (es decir, de tamaño $n$-por-$n$), por lo que podemos encontrar su eigendescomposición:
$$A = Q\Lambda Q^{-1}$$
Ahora, notamos que la traza es invariante bajo permutaciones cíclicas, por lo que tenemos:
$$\text{tr}(A) = \text{tr}(Q\Lambda Q^{-1}) = \text{tr}(Q^{-1}Q\Lambda) = \text{tr}(\Lambda) = \sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{rank}(A)$$
¿Cómo sabemos que la suma de los valores propios es el rango? Esto se desprende del teorema de la nulidad del rango. Si tenemos $k \leq n$ valores propios cero, entonces están asociados con autovectores que forman la base del núcleo de $A$.
Y según el teorema de la nulidad del rango, sabemos que $\text{rank}(A) = n - \text{dim}(\text{ker}(A))$ y esto es igual al número de valores propios no nulos, que en nuestro caso es simplemente la suma de todos los valores propios.
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