Encontrar polinomios $f(x),g(x)$ tal que $f(x)p(x) + g(x)q(x) = 2x^2 + 6x +2$

Question

Dejemos que $$p(x) = x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 7x+1 $$$$ q(x) = x^4 +10x^3 + 23x^2 + 10x+1$$

Encontrar polinomios $f(x),g(x)$ con coeficientes racionales tales que $$f(x)p(x) + g(x)q(x) = 2x^2 + 6x +2$$

No tengo ni idea de cómo resolver este problema... Por favor, ayúdenme a hacerlo. ¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Si se factorizan ambos polinomios en $\mathbb Q[x]$ obtendrás

$p(x) = (x^2+3x+1) (x^2+4x+1)$

$q(x) = (x^2+3x+1) (x^2+7x+1)$

Estos factores son irreductibles (¿Por qué?).

Por lo tanto, $gcd(p,q) = x^2+3x+1$ . Ahora, con el algoritmo euclidiano (o alguna adivinanza) deberías ser capaz de obtener dos polinomios $r,s$ tal que $$r(x^2+4 x+1)+s(x^2+7 x+1) = gcd(x^2+4 x+1,x^2+7 x+1) = 1$$

Si se multiplica por $2(x^2+3x+1)$ se obtiene exactamente lo que se desea:

$$(2r) p + (2s)q = 2x^2+6x+2.$$

Pista 1:

$r,s$ son de grado 1

Pista 2:

$x+7$ , $x+4$

Answer 2

Puedes utilizar la base de Grobner para resolverlo,

$f1=x^4+7x^3+14x^2+7x+1;$ ,

$f2=x^4+10x^3+23x^2+10x+1;$

$f3=(f2-f1)/3=x^2+3x^2+x$

$f4=-3(f2-(x+7)f3)=x^2+3x+1$

Desde entonces, $2x^2+6x+2 = 2*f4$ Ahora sólo hay que sustituirlo por $f4->f3->f2$ hasta que todo esté en términos de $f1$ y $f2$ ,

Respuesta: $2/3(-(x+4)f2+(x+7)f1)$