Inadecuada integración compleja

Question

Yo estaba tratando el problema de Spiegel complejo de variables capítulo 4 prob 93 :

$$\int_{0}^{\infty}xe^{-x}\sin x\, \mathrm dx = \frac12$$

He probado con las piezas y poner los límites... pero la ans no es el mismo... Por favor, hágamelo saber si hay una manera fácil de hacer esto sin que por partes... Gracias.

Answer 1

Un complicado ataque: desde $$\mathcal{L}(\sin x)=\frac{1}{s^2+1},\tag{1}$$ tenemos: $$\mathcal{L}(x\cdot\sin x) = -\frac{d}{ds}\mathcal{L}(\sin x) = \frac{2s}{(s^2+1)^2}\tag{2}$$ y mediante la evaluación de la RHS de $(2)$ $s=1$ obtenemos: $$ \int_{0}^{+\infty} xe^{-x}\sin x\,dx = \frac{2\cdot 1}{(1+1)^2}=\color{red}{\frac{1}{2}}\tag{3}$$ como quería.

Answer 2

Definir nuestros Integral como $J$ ,además que vamos a establecer

$$ I[a]=\int_{0}^{\infty}e^{-ax+ix} $$

Entonces $$ J=-\Im\left(\partial_aI[a]\right)\big|_{a=1}=\Im\left(\partial_a\left(\frac{1}{-a+i}\right)\right)\big|_{a=1} $$

Estoy seguro de que usted puede tomar desde aquí!