Ciclo límite para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

Question

Considerar el sistema $$\frac{dx}{dt}=x (\lambda-x^2 + (1+\epsilon^2)y^2))+\omega y,~\frac{dy}{dt}=-\omega x + y (\lambda-x^2 + (1+\epsilon^2)y^2)).$$ Demostrar que el sistema tiene un ciclo límite estable para $\lambda, \epsilon >0.$

Mi enfoque: Ajuste de la RHS de cada una igual a cero y sumar los dos términos se obtiene: $$(x^2+y^2)\lambda - x^2 (x^2+y^2)-(1+\epsilon^2)(x^2+y^2)y^2=0.$$ Usando coordenadas polares $x=r \cos \theta,~y=r \sin \theta,$ tenemos $$r^2 \cdot (\lambda - r^2 \cos^2 \theta - (1+\epsilon^2) r^2 \sin^2 \theta)=0,$$ lo que da $$r=0,~r=\pm \frac{ \sqrt{\lambda}}{\sqrt{(1+\epsilon^2 \sin^2 \theta)}}.$$ ............................................................................................

Como uno de los comentarios sugeridos, traté de configuración de los lados de la parte derecha de cada una igual a cero.

$$x (\lambda-x^2 + (1+\epsilon^2)y^2))+\omega y=0,~-\omega x + x (\lambda-x^2 + (1+\epsilon^2)y^2))=0.$$

He intentado el método de eliminación para resolver por $x$ $y,$ pero no tuvo éxito. Todavía no sé cómo puede ser todo más sencillo de lo que lo hice antes. Todavía estoy atascado en este problema. Por favor alguien puede explicar a mí de este ¿cómo puedo demostrado la conclusión deseada. Gracias por su tiempo.

Answer 1

En coordenadas polares, las ecuaciones son $$ r'=r(\lambda-r^2\cos^2\theta-(1+\epsilon^2)r^2\sin^2\theta), \quad \theta'=-\omega. $$ Para $\omega>0$ la segunda ecuación implica que el único equilibrio es el origen. Ahora, para $r$ muy pequeño $r'>0$, mientras que para $r$ muy grande tenemos $$ r'=r(\lambda-r^2-\epsilon^2r^2\sin^2\theta)<0. $$ Por lo tanto, se sigue de la de Poincaré-Bendixson teorema de que no es una órbita periódica. Su estabilidad es también el deseado.