Deje $\Omega_1, \Omega_2$ dos no vacío abierto conectado subconjuntos del plano. Siempre es posible encontrar un mapa continuo $f$ $\Omega_1$ a $\Omega_2$?
Nota: El origen de mi pregunta es esta: continuo-asignación-de-abrir---abrir-set.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como ya he dicho, esta es probablemente una exageración, pero si utilizamos el espacio de llenado de las curvas, podemos dar por sentado que existe un continuo surjection $[0,1]\rightarrow [0,1] \times [0,1]$.
Ahora si $V \subset \mathbb{R}^2$ está abierto, conectado, existe un continuo surjection $V\rightarrow (0,1)$ (por ejemplo, de proyectos para el eje x para obtener una discontinuo de la unión de intervalos abiertos, a continuación, elija uno de estos intervalo de $J$, tomar la identidad en $J$ y enviar a todos los otros a $J$)
Deje $U\subset \mathbb{R}^n$ ser abierto, conectado y escribir $$U:=\cup_{i=1}^\infty C_i$$ where $C_i$ son una contables de la colección de cerrado de plazas (de diferentes tamaños).
Podemos definir un surjective mapa de $f_1:[1/2, 1)\rightarrow C_1$ y un camino de $\gamma :[1/3,1/2]\rightarrow U$$\gamma(1/2)= f(1/2), \gamma (1/3)\in C_2$. Ahora definir un surjective mapa de $f_2: [1/4,1/3] \rightarrow C_2$. la concatenación de estos mapas le da un surjective mapa de $[1/4,1)\rightarrow C_1\cup C_2$. Continuando de esta manera le da un surjection $(0,1) \rightarrow V$.
....a la derecha?
En realidad me parece una tontería utilizar el espacio de llenado de las curvas debido a que se derrumbó espacio para llenarlo de nuevo. Usted podría reemplazar a $(0,1)$ con una tira, que piensas de como dividido en cuadrados, la asignación de la primera plaza a $C_1$, la siguiente plaza a $\gamma$, la siguiente plaza a $C_2$...
