$\int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{ \sqrt{x}}dx$

Question

Quiero saber cómo solucionar esto usando el contorno de integración:

$$\int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}dx.$$

So I let the integral become:

$$\oint_c \frac{\sin(z)}{\sqrt{z}}dz$$ where c is a "half doughnut" shape avoiding the singularity at z = 0 and extending into the upper half of the complex plane towards infinity.

$$\oint_c = \int_{up} + \int_{-R}^{- \epsilon} + \int_{low} + \int_ {\epsilon}^R = 0$$ (Ya que las singularidades son en realidad contenida en el contorno.)

Por un obligado argumento, el $\int_{up}$ no contribuye en nada a la integral. Por lo tanto:

$$\lim{R \to \infty}, {\epsilon \to 0}$$

$$- \int_{low} = \int_{- \infty}^{\infty} $$

Where $\int_{baja}$ is the integral over the bump going over the point z = 0. So can I use the Cauchy Integral theorem to say

$$\int_{low} = \pi i\, \text{Res} \left( \frac{\sin x}{ \sqrt{x}}, 0 \right)$$

Because there is no residue for this function, which would imply the integral is zero, which I know it is actually $\sqrt \frac{ \pi}{2}$.

Answer 1

Usted delimitador argumento para $\int_{up}$ no funcionará.

$\sin z$ puede ser reescrita como $\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2\pi i}$. Sobre la mitad superior del plano, $|e^{iz}| \to 0$ $|e^{-iz}| \to \infty$ al $|z| \to \infty$. Usted no tiene ningún control de su $\int_{up}$ como enviar a $\infty$. Para calcular esta integral, usted debe:

1) el Cambio de variable a $x = \sqrt{z}$ a deshacerse de la raíz cuadrada.
2) Expresar $\sin x^2$ en términos de la parte imaginaria de $e^{ix^2}$ hacer el integrando un mejor comportamiento sobre la mitad superior del plano.

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{z}}{\sqrt{z}} dz = 2 \int_{0}^{\infty} \sin x^2 d x = 2 \Im\left[\int_{0}^{\infty}e^{ix^2} dx\right]$$

3) elija un derecho de contorno para el cálculo de la integral. Escoger el derecho de contorno, una cosa que usted necesita hacer es entender el comportamiento de tu integrando en varios límite.

Vamos $x$ = $R e^{i\theta}$ para un gran$R$$\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$, tenemos:

$$e^{ix^2} = e^{iR^2 \exp(2i\theta)} = e^{-R^2 \sin(2\theta)} e^{iR^2 \cos(\theta)}$$

Aviso de la $e^{-R^2 sin(2\theta)}$ factor de allí. Significa que mientras estamos dentro de la $1^{st}$ cuadrante, $e^{ix^2}$ no va a causar ningún problema real como usted envíe $|x| \to \infty$.

Hay un contorno se puede utilizar en $1^{st}$ cuadrante? La respuesta es sí. Deje $C$ ser el contorno de inicio de $0$ $R$sobre el eje real, seguido por un arco circular de $R$ $R e^{i\frac{\pi}{4}}$y, a continuación, una línea recta de $R e^{i\frac{\pi}{4}}$$0$.

A lo largo de este contorno, se tiene:

$$ 0 = \left[\int_0^R + \underbrace{\int_R^{Re^{i\frac{\pi}{4}}}}_{\to 0 \text{ as } R \to \infty} + \int_{Re^{i\frac{\pi}{4}}}^0 \right] e^{ix^2} dx$$

Sustituir la variable $x = y e^{i\frac{\pi}{4}}$ en la última integral, obtenemos:

$$\begin{align} & \int_0^{\infty} e^{ix^2} dx = -e^{i\frac{\pi}{4}} \int_{\infty}^0 e^{-y^2} dy\\ \implies & \int_{0}^{\infty} \frac{\sin{z}}{\sqrt{z}} dz = 2 \Im\left[ e^{i\frac{\pi}{4}} \int_0^{\infty} e^{-y^2} dy \right] = \sqrt{2}\frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{align}$$

Answer 2

Hay una rama cortada en cero en lo que usted tiene.

Aquí está el otro, el enfoque más sencillo:

$$ \int_0^\infty\frac{e^{ix}}{\sqrt{x}}\,dx =\sqrt{i\,}\int_0^\infty\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\,dx =\frac{1+i}{\sqrt{2}}\Gamma\left(\frac12\right) =(1+i)\sqrt{\frac\pi2}, $$ (donde en la segunda igualdad hemos apelado a la función Gamma).

Ahora, desde el desde el $e^{i x}=\cos x+i\sin x$,$\sin x=\text{Im}(e^{ix})$. Así, tomando la parte imaginaria, $$\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt x}\,dz=\sqrt{\frac{\pi}{2}}.$$

Answer 3

$$ \overbrace{\int_{0}^{\infty}{\sin\left(x\right) \\sqrt{x\,}}\,{\rm d}x} ^{\displaystyle{\mbox{Set}\ \,\sqrt{\,x\,}\, \equiv t\ Longrightarrow\ x = t^{2}}}\ =\ 2\int_{0}^{\infty}\sin\left(t^{2}\right)\,{\rm d}t $$

La integral es bien conocida la Integral de Fresnel y se explica en detalle en el citado enlace.