¿Cuál es el significado de $\mathbf{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$

Question

Yo sé que : $\mathbf{Q}(\sqrt{2}) = \mathbf{Q}+ \sqrt{2} \mathbf{Q}$ , pero entonces, ¿qué es $\mathbf{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$?

Answer 1

$\mathbf{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ $\mathbf{Q}+\sqrt{2}\mathbf{Q}+\sqrt{3}\mathbf{Q}+\sqrt{6}\mathbf{Q}$ , o en otras palabras

$$\mathbf{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d\in\mathbf{Q}\}.$$

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Sin embargo, tenga cuidado. Por ejemplo, $\mathbf{Q}(\sqrt{2},\sqrt[4]{2})=\mathbf{Q}(\sqrt[4]{2})=\mathbf{Q}+\sqrt[4]{2}\mathbf{Q}+(\sqrt[4]{2})^2\mathbf{Q}+(\sqrt[4]{2})^3\mathbf{Q}$, debido a la adición en el $\sqrt{2}$ es redundante: ya tenemos $\sqrt{2}=(\sqrt[4]{2})^2$ dentro $\mathbf{Q}(\sqrt[4]{2})$.

En general, el campo de $\mathbf{Q}(a_1,\ldots,a_n)$ es el más pequeño campo que contiene $\mathbf{Q}$ y los elementos $a_1,\ldots,a_n$.