Supongamos que Una sea una matriz Diagonal con entradas se $\alpha+1$ $\alpha$ es?

Question

Supongamos $A=(a_{ij})$ $10\times 10$ orden de la matriz tal que $a_{ij}$=$1$ para$i\neq j$$a_{ii}=\alpha+1$$\alpha\ge 0$.Deje $\lambda$ $\mu$ ser más grande y más pequeño de los valores propios de a $A$. Si$\lambda+\mu=24$ $\alpha=?$ aquí está mi intento-de acuerdo a la pregunta diagonal elementos se $\alpha+1$ y el resto de las entradas son 1, entonces como la suma de eigen valor =suma de la diagonal $10\alpha+10$=$\lambda+\mu+\sum_{i=2}^9\lambda_i$ supongamos $\lambda_1=\mu$ $\lambda_{10}=\lambda$ $10\alpha$=$14+\sum_{i=2}^9\lambda_i$ como $\lambda+\mu=24$, pero ¿cómo puedo encontrar a $\alpha$, es mi proceso es correcto? Si no, entonces ¿cuál es el proceso correcto?

Answer 1

Deje $B$ $10\times10$ matriz de tal manera que todas las entradas son iguales a $1$. A continuación, $B$ $2$ autovalores: $10$ (multiplicidad $1$) y $0$ (multiplicidad $9$). Por lo tanto, los autovalores de a$A$$10+\alpha$$\alpha$, porque si $P(\lambda)$ es el polinomio característico de a $B$, entonces el polinomio característico de a$A$$P(\lambda-\alpha)$. Así, el mayor autovalor es $10+\alpha$ y la más pequeña es $\alpha$. Desde su suma es $10+2a=24$, $\alpha=7$.